Номер 1033, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1033. Вычислить $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \cos\beta = \frac{8}{17} $, $ \frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi $.

Для вычисления $tg(α + β)$ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$tg(α + β) = \frac{tg(α) + tg(β)}{1 - tg(α)tg(β)}$

Чтобы применить эту формулу, нам необходимо найти значения $tg(α)$ и $tg(β)$, зная $sin(α)$, $cos(β)$ и в каких четвертях находятся углы $α$ и $β$.

Найдем $tg(α)$

Дано, что $sin(α) = \frac{4}{5}$ и угол $α$ находится во второй четверти ($\frac{π}{2} < α < π$). В этой четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны. Найдем $cos(α)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$.

$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Так как $α$ находится во второй четверти, $cos(α) < 0$, поэтому:

$cos(α) = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Теперь можем вычислить $tg(α)$:

$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

Найдем $tg(β)$

Дано, что $cos(β) = \frac{8}{17}$ и угол $β$ находится в четвертой четверти ($\frac{3π}{2} < β < 2π$). В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны. Найдем $sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(β) + cos^2(β) = 1$.

$sin^2(β) = 1 - cos^2(β) = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.

Так как $β$ находится в четвертой четверти, $sin(β) < 0$, поэтому:

$sin(β) = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$.

Теперь можем вычислить $tg(β)$:

$tg(β) = \frac{sin(β)}{cos(β)} = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8}$.

Вычислим $tg(α + β)$

Подставим найденные значения $tg(α) = -\frac{4}{3}$ и $tg(β) = -\frac{15}{8}$ в формулу тангенса суммы:

$tg(α + β) = \frac{tg(α) + tg(β)}{1 - tg(α)tg(β)} = \frac{-\frac{4}{3} + (-\frac{15}{8})}{1 - (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{15}{8})} = \frac{-\frac{4}{3} - \frac{15}{8}}{1 - \frac{4 \cdot 15}{3 \cdot 8}}$.

Вычислим числитель дроби:

$-\frac{4}{3} - \frac{15}{8} = -\frac{4 \cdot 8}{24} - \frac{15 \cdot 3}{24} = -\frac{32}{24} - \frac{45}{24} = -\frac{77}{24}$.

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{60}{24} = 1 - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем итоговое значение, разделив числитель на знаменатель:

$tg(α + β) = \frac{-77/24}{-3/2} = \frac{77}{24} \cdot \frac{2}{3} = \frac{77 \cdot 2}{24 \cdot 3} = \frac{77}{12 \cdot 3} = \frac{77}{36}$.

Ответ: $ \frac{77}{36} $.