Номер 1030, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1030. Упростить выражение:

1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta)$;

2) $\cos(-\alpha)\sin(-\beta) - \sin(\alpha - \beta)$;

3) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \sin(\alpha - \beta)$;

4) $\sin(\alpha + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin(-\beta)$.

1) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(-\alpha)cos(-\beta)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.
Используем свойства четности и нечетности функций: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция) и $cos(-\beta) = cos(\beta)$ (косинус — четная функция).
Тогда выражение $sin(-\alpha)cos(-\beta)$ превращается в $-sin(\alpha)cos(\beta)$.
Исходное выражение принимает вид: $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha)cos(\beta)$.
Теперь применим формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим это в наше выражение:
$(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - sin(\alpha)cos(\beta)$.
После сокращения взаимно уничтожающихся членов $sin(\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(\alpha)cos(\beta)$ получаем:
$cos(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha)sin(\beta)$.

2) Для упрощения выражения $cos(-\alpha)sin(-\beta) - sin(\alpha - \beta)$ используем свойства четности/нечетности и формулу синуса разности.
Свойства функций: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$ и $sin(-\beta) = -sin(\beta)$.
Первый член выражения: $cos(-\alpha)sin(-\beta) = cos(\alpha)(-sin(\beta)) = -cos(\alpha)sin(\beta)$.
Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим все в исходное выражение:
$-cos(\alpha)sin(\beta) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$.
Раскроем скобки:
$-cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Сократим подобные слагаемые $-cos(\alpha)sin(\beta)$ и $+cos(\alpha)sin(\beta)$:
$-sin(\alpha)cos(\beta)$.
Ответ: $-sin(\alpha)cos(\beta)$.

3) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(\frac{\pi}{2} - \beta) - sin(\alpha - \beta)$ применим формулы приведения и формулу синуса разности.
Формулы приведения:
$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = cos(\beta)$.
Таким образом, первая часть выражения упрощается до $sin(\alpha)cos(\beta)$.
Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим все в исходное выражение:
$sin(\alpha)cos(\beta) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$sin(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(\alpha)cos(\beta)$ сокращаются, и остается:
$cos(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha)sin(\beta)$.

4) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(-\beta)$ используем формулу синуса суммы, формулу приведения и свойство нечетности синуса.
Формула приведения: $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$.
Свойство нечетности: $sin(-\beta) = -sin(\beta)$.
Тогда второй член выражения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(-\beta)$ равен $cos(\alpha)(-sin(\beta)) = -cos(\alpha)sin(\beta)$.
Формула синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставляем все в исходное выражение:
$(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Приводим подобные слагаемые:
$sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$cos(\alpha)sin(\beta)$ и $-cos(\alpha)sin(\beta)$ взаимно уничтожаются, и в итоге получаем:
$sin(\alpha)cos(\beta)$.
Ответ: $sin(\alpha)cos(\beta)$.