Номер 1028, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1028. Найти значение выражения:

1) $ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ $

2) $ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ $

3) $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $

4) $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $

1) Для вычисления значения выражения $ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ = \sin(73^\circ + 17^\circ) = \sin(90^\circ) $.
Значение синуса $ 90^\circ $ равно 1.
Ответ: 1

2) Для вычисления значения выражения $ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 13^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ = \sin(73^\circ - 13^\circ) = \sin(60^\circ) $.
Значение синуса $ 60^\circ $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Выражение $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $ можно переписать как $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} $, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $.
Значение синуса $ \frac{\pi}{2} $ равно 1.
Ответ: 1

4) Выражение $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $ можно переписать как $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{7\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} $, что соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $.
Значение синуса $ \frac{\pi}{2} $ равно 1.
Ответ: 1