Номер 1026, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1026. Вычислить:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$, если $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$, если $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Для вычисления $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$

Нам известны значения:

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (по условию)

Найдем $\cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

По условию, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6} - 3}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - 3}{6}$.

2) Для вычисления $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}$

Нам известны значения:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\alpha = -\frac{1}{3}$ (по условию)

Найдем $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

По условию, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен. Следовательно, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$.