Номер 1020, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1020. Доказать тождество:

1) $\cos\alpha\sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + \cot^2(-\alpha)) = \cot(-\alpha);$

2) $\frac{1 - \sin^2(-\alpha)}{\cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha - 2\pi)}{1 - \cos^2(-\alpha)} = \cot\alpha.$

1) Докажем тождество $cos\alpha \cdot sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + ctg^2(-\alpha)) = ctg(-\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций, свойствами четности/нечетности и основными тригонометрическими тождествами.

1. Упростим $sin(6\pi - \alpha)$. Поскольку период функции синус равен $2\pi$, то $6\pi$ можно отбросить:

$sin(6\pi - \alpha) = sin(3 \cdot 2\pi - \alpha) = sin(-\alpha)$.

Синус – нечетная функция, поэтому $sin(-\alpha) = -sin\alpha$.

2. Упростим выражение в скобках $1 + ctg^2(-\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество $1 + ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)}$:

$1 + ctg^2(-\alpha) = \frac{1}{sin^2(-\alpha)}$.

Так как $sin(-\alpha) = -sin\alpha$, то $sin^2(-\alpha) = (-sin\alpha)^2 = sin^2\alpha$. Следовательно:

$1 + ctg^2(-\alpha) = \frac{1}{sin^2\alpha}$.

3. Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$cos\alpha \cdot (-sin\alpha) \cdot \frac{1}{sin^2\alpha} = - \frac{cos\alpha \cdot sin\alpha}{sin^2\alpha}$.

Сократим дробь на $sin\alpha$ (при условии, что $sin\alpha \neq 0$):

$- \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = -ctg\alpha$.

4. Теперь рассмотрим правую часть тождества: $ctg(-\alpha)$.

Котангенс – нечетная функция, поэтому $ctg(-\alpha) = -ctg\alpha$.

Мы получили, что левая часть равна $-ctg\alpha$ и правая часть равна $-ctg\alpha$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $cos\alpha \cdot sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + ctg^2(-\alpha))$ преобразуется к $-ctg\alpha$. Правая часть $ctg(-\alpha)$ также равна $-ctg\alpha$. Поскольку обе части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)} = ctg\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждый элемент по отдельности.

1. Упростим первую дробь $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)}$.

Числитель: $sin(-\alpha) = -sin\alpha$ (нечетная функция), поэтому $sin^2(-\alpha) = (-sin\alpha)^2 = sin^2\alpha$. Тогда числитель равен $1 - sin^2\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha$.

Знаменатель: $cos(4\pi - \alpha)$. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $cos(4\pi - \alpha) = cos(2 \cdot 2\pi - \alpha) = cos(-\alpha)$. Косинус – четная функция, поэтому $cos(-\alpha) = cos\alpha$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{cos^2\alpha}{cos\alpha} = cos\alpha$.

2. Упростим вторую дробь $\frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)}$.

Числитель: $sin(\alpha - 2\pi)$. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $sin(\alpha - 2\pi) = sin\alpha$.

Знаменатель: $1 - cos^2(-\alpha)$. Как мы уже установили, $cos(-\alpha) = cos\alpha$, поэтому $cos^2(-\alpha) = cos^2\alpha$. Знаменатель равен $1 - cos^2\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству, $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$.

Таким образом, вторая дробь равна $\frac{sin\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{1}{sin\alpha}$ (при условии, что $sin\alpha \neq 0$).

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$cos\alpha \cdot \frac{1}{sin\alpha} = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.

По определению котангенса, $\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = ctg\alpha$.

Левая часть тождества равна $ctg\alpha$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: В результате преобразований левая часть тождества $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)}$ приводится к виду $\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = ctg\alpha$, что доказывает верность исходного равенства.