Номер 1016, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1016. Вычислить:

1) $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

2) $\frac{1+\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1+\text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$

3) $\cos(-\pi) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{3}{2}\pi\right) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

4) $\frac{3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$

1)
Вычислим значение выражения $\cos(-\frac{\pi}{6})\sin(-\frac{\pi}{3}) + \tg(-\frac{\pi}{4})$.
Для упрощения выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

• Косинус — четная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Синус — нечетная функция: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• Тангенс — нечетная функция: $\tg(-x) = -\tg(x)$.

Применяя эти свойства, преобразуем исходное выражение:
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$
$\tg(-\frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4})$
Подставим преобразованные функции в выражение:
$\cos(\frac{\pi}{6}) \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3})) - \tg(\frac{\pi}{4})$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Выполним вычисления:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$.

Ответ: $-\frac{7}{4}$.

2)
Вычислим значение выражения $\frac{1 + \tg^2(-\frac{\pi}{6})}{1 + \ctg^2(-\frac{\pi}{6})}$.
Так как квадрат функции является четной функцией ($\tg^2(-x) = (\tg(-x))^2 = (-\tg(x))^2 = \tg^2(x)$), выражение можно переписать так:
$\frac{1 + \tg^2(\frac{\pi}{6})}{1 + \ctg^2(\frac{\pi}{6})}$
Используем основные тригонометрические тождества $1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $1 + \ctg^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Подставим их в наше выражение при $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\frac{\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})}}{\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}} = \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6})}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = \tg^2(\frac{\pi}{6})$
Теперь вычислим значение:
$\tg^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3)
Вычислим значение выражения $\cos(-\pi) + \ctg(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{3\pi}{2}) + \ctg(-\frac{\pi}{4})$.
Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций:
$\cos(-\pi) = \cos(\pi)$
$\ctg(-\frac{\pi}{2}) = -\ctg(\frac{\pi}{2})$
$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2})$
$\ctg(-\frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4})$
Подставим в выражение:
$\cos(\pi) - \ctg(\frac{\pi}{2}) - (-\sin(\frac{3\pi}{2})) - \ctg(\frac{\pi}{4}) = \cos(\pi) - \ctg(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{3\pi}{2}) - \ctg(\frac{\pi}{4})$
Вычислим табличные значения:
$\cos(\pi) = -1$
$\ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$
$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
$\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Подставим числовые значения и произведем расчет:
$-1 - 0 + (-1) - 1 = -3$.

Ответ: $-3$.

4)
Вычислим значение выражения $\frac{3 - \sin^2(-\frac{\pi}{3}) - \cos^2(-\frac{\pi}{3})}{2\cos(-\frac{\pi}{4})}$.
Упростим числитель. Так как $\sin^2(-x) = \sin^2(x)$ и $\cos^2(-x) = \cos^2(x)$, то:
$3 - \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 3 - (\sin^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}))$
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Числитель равен: $3 - 1 = 2$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:
$2\cos(-\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4})$
Подставим табличное значение:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.