Номер 1009, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1009. 1) Выразить $sin^4\alpha - sin^2\alpha + cos^2\alpha$ через $cos\alpha$.

2) Выразить $cos^4\alpha - cos^2\alpha + sin^2\alpha$ через $sin\alpha$.

1) Для того чтобы выразить данное выражение через $cos\alpha$, мы будем использовать основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества мы можем выразить $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Рассмотрим исходное выражение: $sin^4\alpha - sin^2\alpha + cos^2\alpha$.
Сначала сгруппируем первые два члена и вынесем $sin^2\alpha$ за скобки:
$sin^2\alpha(sin^2\alpha - 1) + cos^2\alpha$
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $sin^2\alpha - 1 = -cos^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:
$sin^2\alpha(-cos^2\alpha) + cos^2\alpha$
Теперь заменим оставшийся $sin^2\alpha$ на $1 - cos^2\alpha$:
$(1 - cos^2\alpha)(-cos^2\alpha) + cos^2\alpha$
Раскроем скобки, умножив $(-cos^2\alpha)$ на каждый член в скобках:
$-cos^2\alpha + cos^4\alpha + cos^2\alpha$
Сократим подобные слагаемые ($-cos^2\alpha$ и $+cos^2\alpha$ взаимно уничтожаются):
$cos^4\alpha$
Ответ: $cos^4\alpha$

2) Аналогично первому пункту, для выражения через $sin\alpha$ мы используем тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из него мы выразим $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Рассмотрим исходное выражение: $cos^4\alpha - cos^2\alpha + sin^2\alpha$.
Сгруппируем первые два члена и вынесем $cos^2\alpha$ за скобки:
$cos^2\alpha(cos^2\alpha - 1) + sin^2\alpha$
Из основного тригонометрического тождества следует, что $cos^2\alpha - 1 = -sin^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:
$cos^2\alpha(-sin^2\alpha) + sin^2\alpha$
Теперь заменим оставшийся $cos^2\alpha$ на $1 - sin^2\alpha$:
$(1 - sin^2\alpha)(-sin^2\alpha) + sin^2\alpha$
Раскроем скобки, умножив $(-sin^2\alpha)$ на каждый член в скобках:
$-sin^2\alpha + sin^4\alpha + sin^2\alpha$
Сократим подобные слагаемые ($-sin^2\alpha$ и $+sin^2\alpha$ взаимно уничтожаются):
$sin^4\alpha$
Ответ: $sin^4\alpha$