Номер 1002, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1002. Доказать тождество:

1) $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha;$

2) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha;$

3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha;$

4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha;$

5) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = 1;$

6) $\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = 1.$

1) Докажем тождество $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\sin^2\alpha = \sin^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

2) Докажем тождество $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = \cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов:

$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - \sin^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, имеем $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\cos^2\alpha = \cos^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

3) Докажем тождество $\frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

$\frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

По определению тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, следовательно $\text{tg}^2\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Получили, что левая часть равна правой: $\text{tg}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

4) Докажем тождество $\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \text{ctg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

$\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно $\text{ctg}^2\alpha = \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Получили, что левая часть равна правой: $\text{ctg}^2\alpha = \text{ctg}^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

5) Докажем тождество $\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} + \sin^2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим это выражение в первую дробь:

$\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} = \cos^2\alpha$.

Теперь все выражение принимает вид:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ:

6) Докажем тождество $\frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} + \cos^2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это выражение в первую дробь:

$\frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \sin^2\alpha$.

Теперь все выражение принимает вид:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ: