Номер 1005, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1005. Доказать тождество:

1) $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \tan^2\alpha) = 1;$

2) $\sin^2\alpha(1 + \cot^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.$

1) Докажем тождество $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Первое тождество, которое мы применим, это основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из него следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Второе тождество связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Теперь подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Сокращаем $\cos^2\alpha$ в числителе и знаменателе, при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ (что необходимо для существования $\text{tg}\alpha$):

$\cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1$

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = 1$ доказано.

2) Докажем тождество $\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Преобразуем левую часть выражения, используя тригонометрические тождества.

Используем тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha$

Сокращаем $\sin^2\alpha$, при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ (что необходимо для существования $\text{ctg}\alpha$):

$\sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Теперь снова применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равенства равна $\sin^2\alpha$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ доказано.