Номер 1006, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1006. Упростить выражение:

1) $(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1;$

2) $1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha);$

3) $1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha};$

4) $\frac{1+\text{tg}^2\alpha}{1+\text{ctg}^2\alpha}.$

1) Для упрощения выражения $(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha - 1$

Сократив $\cos^2\alpha$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha)$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это тождество в выражение:

$1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha) = 1 - \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Сократив $\sin^2\alpha$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

3) Упростим выражение $1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Сначала используем тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos^2\alpha \sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

4) Упростим выражение $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.

Воспользуемся тождествами $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим их в дробь:

$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$

Для упрощения полученной дроби, деление заменяем на умножение, перевернув знаменатель:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

По определению тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, следовательно, $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\text{tg}^2\alpha$