Номер 1018, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1018. Вычислить:

1) $ \frac{2 - \sin^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \cos^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right)}{2\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)}; $

2) $ \sqrt{3} \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) - 2\text{ctg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) + 4\cos \left( -\frac{3}{2}\pi \right). $

1) Для вычисления значения выражения $\frac{2 - \sin^2(-\frac{\pi}{6}) + \cos^2(-\frac{\pi}{3})}{2\cos(-\frac{\pi}{3}) + \sin(-\frac{\pi}{3})}$ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Сначала вычислим значения выражений в числителе:
$\sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\sin(\frac{\pi}{6}))^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$\cos^2(-\frac{\pi}{3}) = (\cos(\frac{\pi}{3}))^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Тогда весь числитель равен: $2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2$.

Теперь вычислим значение знаменателя:
$2\cos(-\frac{\pi}{3}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем значение всей дроби, подставив найденные значения числителя и знаменателя:
$\frac{2}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{4(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{1} = 8 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\sin(-\frac{\pi}{3}) - 2\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{3\pi}{2})$ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$ и $\cos(-x) = \cos(x)$.

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:
1. $\sqrt{3}\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$.
2. $-2\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) = 2 \cdot 1 = 2$.
3. $4\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 4\cos(\frac{3\pi}{2}) = 4 \cdot 0 = 0$.

Теперь сложим полученные значения:
$-\frac{3}{2} + 2 + 0 = -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{-3+4}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.