Номер 1024, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1024. С помощью формул сложения вычислить:

1) $ \cos 135^\circ $;

2) $ \cos 120^\circ $;

3) $ \cos 150^\circ $;

4) $ \cos 240^\circ $.

1) Для вычисления $cos 135\degree$ представим этот угол как сумму или разность известных углов, например, $90\degree$ и $45\degree$.
$135\degree = 90\degree + 45\degree$
Используем формулу сложения для косинуса: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 45\degree$.
$cos(135\degree) = cos(90\degree + 45\degree) = cos(90\degree)cos(45\degree) - sin(90\degree)sin(45\degree)$
Мы знаем значения тригонометрических функций для этих углов:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$sin(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем эти значения в формулу:
$cos(135\degree) = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Для вычисления $cos 120\degree$ представим угол $120\degree$ как сумму $90\degree$ и $30\degree$.
$120\degree = 90\degree + 30\degree$
Применим формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$ с $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 30\degree$.
$cos(120\degree) = cos(90\degree + 30\degree) = cos(90\degree)cos(30\degree) - sin(90\degree)sin(30\degree)$
Значения функций:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(30\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(30\degree) = \frac{1}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(120\degree) = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для вычисления $cos 150\degree$ представим угол $150\degree$ как сумму $90\degree$ и $60\degree$.
$150\degree = 90\degree + 60\degree$
Снова используем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, где $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 60\degree$.
$cos(150\degree) = cos(90\degree + 60\degree) = cos(90\degree)cos(60\degree) - sin(90\degree)sin(60\degree)$
Значения функций:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(60\degree) = \frac{1}{2}$
$sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(150\degree) = 0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $cos 240\degree$ представим угол $240\degree$ как сумму $180\degree$ и $60\degree$.
$240\degree = 180\degree + 60\degree$
Применяем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, где $\alpha = 180\degree$ и $\beta = 60\degree$.
$cos(240\degree) = cos(180\degree + 60\degree) = cos(180\degree)cos(60\degree) - sin(180\degree)sin(60\degree)$
Значения функций:
$cos(180\degree) = -1$
$sin(180\degree) = 0$
$cos(60\degree) = \frac{1}{2}$
$sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(240\degree) = (-1) \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$