Страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1024. С помощью формул сложения вычислить:

1) $ \cos 135^\circ $;

2) $ \cos 120^\circ $;

3) $ \cos 150^\circ $;

4) $ \cos 240^\circ $.

1) Для вычисления $cos 135\degree$ представим этот угол как сумму или разность известных углов, например, $90\degree$ и $45\degree$.
$135\degree = 90\degree + 45\degree$
Используем формулу сложения для косинуса: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 45\degree$.
$cos(135\degree) = cos(90\degree + 45\degree) = cos(90\degree)cos(45\degree) - sin(90\degree)sin(45\degree)$
Мы знаем значения тригонометрических функций для этих углов:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$sin(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем эти значения в формулу:
$cos(135\degree) = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Для вычисления $cos 120\degree$ представим угол $120\degree$ как сумму $90\degree$ и $30\degree$.
$120\degree = 90\degree + 30\degree$
Применим формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$ с $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 30\degree$.
$cos(120\degree) = cos(90\degree + 30\degree) = cos(90\degree)cos(30\degree) - sin(90\degree)sin(30\degree)$
Значения функций:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(30\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(30\degree) = \frac{1}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(120\degree) = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для вычисления $cos 150\degree$ представим угол $150\degree$ как сумму $90\degree$ и $60\degree$.
$150\degree = 90\degree + 60\degree$
Снова используем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, где $\alpha = 90\degree$ и $\beta = 60\degree$.
$cos(150\degree) = cos(90\degree + 60\degree) = cos(90\degree)cos(60\degree) - sin(90\degree)sin(60\degree)$
Значения функций:
$cos(90\degree) = 0$
$sin(90\degree) = 1$
$cos(60\degree) = \frac{1}{2}$
$sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(150\degree) = 0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $cos 240\degree$ представим угол $240\degree$ как сумму $180\degree$ и $60\degree$.
$240\degree = 180\degree + 60\degree$
Применяем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, где $\alpha = 180\degree$ и $\beta = 60\degree$.
$cos(240\degree) = cos(180\degree + 60\degree) = cos(180\degree)cos(60\degree) - sin(180\degree)sin(60\degree)$
Значения функций:
$cos(180\degree) = -1$
$sin(180\degree) = 0$
$cos(60\degree) = \frac{1}{2}$
$sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем и вычисляем:
$cos(240\degree) = (-1) \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

1025. Найти значение выражения:

1) $ \cos 57^\circ 30^\prime \cos 27^\circ 30^\prime + \sin 57^\circ 30^\prime \sin 27^\circ 30^\prime; $

2) $ \cos 19^\circ 30^\prime \cos 25^\circ 30^\prime - \sin 19^\circ 30^\prime \sin 25^\circ 30^\prime; $

3) $ \cos \frac{7\pi}{9} \cos \frac{11\pi}{9} - \sin \frac{7\pi}{9} \sin \frac{11\pi}{9}; $

4) $ \cos \frac{8\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \sin \frac{\pi}{7}. $

1)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Это формула косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = 57^\circ 30' $ и $ \beta = 27^\circ 30' $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos 57^\circ 30' \cos 27^\circ 30' + \sin 57^\circ 30' \sin 27^\circ 30' = \cos(57^\circ 30' - 27^\circ 30') $.
Вычислим разность углов: $ 57^\circ 30' - 27^\circ 30' = (57 - 27)^\circ (30 - 30)' = 30^\circ $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(30^\circ) $.
Значение $ \cos(30^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. Это формула косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = 19^\circ 30' $ и $ \beta = 25^\circ 30' $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos 19^\circ 30' \cos 25^\circ 30' - \sin 19^\circ 30' \sin 25^\circ 30' = \cos(19^\circ 30' + 25^\circ 30') $.
Вычислим сумму углов. Учитывая, что $ 60' = 1^\circ $: $ 19^\circ 30' + 25^\circ 30' = (19 + 25)^\circ (30 + 30)' = 44^\circ 60' = 44^\circ + 1^\circ = 45^\circ $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(45^\circ) $.
Значение $ \cos(45^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

3)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $, что соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = \frac{7\pi}{9} $ и $ \beta = \frac{11\pi}{9} $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos\frac{7\pi}{9} \cos\frac{11\pi}{9} - \sin\frac{7\pi}{9} \sin\frac{11\pi}{9} = \cos(\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9}) $.
Вычислим сумму углов: $ \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} = \frac{7\pi + 11\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(2\pi) $.
Значение $ \cos(2\pi) $ равно $1$.
Ответ: $ 1 $

4)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, что соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = \frac{8\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{\pi}{7} $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos\frac{8\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7} \sin\frac{\pi}{7} = \cos(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}) $.
Вычислим разность углов: $ \frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi - \pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\pi) $.
Значение $ \cos(\pi) $ равно $-1$.
Ответ: $ -1 $

1026. Вычислить:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$, если $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$, если $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Для вычисления $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$ воспользуемся формулой косинуса суммы:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$

Нам известны значения:

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (по условию)

Найдем $\cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

По условию, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6} - 3}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - 3}{6}$.

2) Для вычисления $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}$

Нам известны значения:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\alpha = -\frac{1}{3}$ (по условию)

Найдем $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

По условию, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где синус положителен. Следовательно, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь подставим все значения в формулу:

$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$.

1027. Упростить выражение:

1) $cos3\alpha cos\alpha - sin\alpha sin3\alpha;$

2) $cos5\beta cos2\beta + sin5\beta sin2\beta;$

3) $cos(\frac{\pi}{7} + \alpha) cos(\frac{15\pi}{14} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{7} + \alpha) sin(\frac{15\pi}{14} - \alpha);$

4) $cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha) cos(\frac{2\pi}{5} + \alpha) + sin(\frac{7\pi}{5} + \alpha) sin(\frac{2\pi}{5} + \alpha).$

1) Данное выражение: $ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{3\alpha} $.
Заметим, что $ \sin{\alpha}\sin{3\alpha} = \sin{3\alpha}\sin{\alpha} $. Тогда выражение можно переписать в виде: $ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{3\alpha}\sin{\alpha} $.
Это соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(x+y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} $.
В нашем случае $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $. Применим формулу:
$ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{3\alpha}\sin{\alpha} = \cos(3\alpha + \alpha) = \cos(4\alpha) $.
Ответ: $ \cos(4\alpha) $.

2) Данное выражение: $ \cos{5\beta}\cos{2\beta} + \sin{5\beta}\sin{2\beta} $.
Это соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(x-y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} $.
В нашем случае $ x = 5\beta $ и $ y = 2\beta $. Применим формулу:
$ \cos{5\beta}\cos{2\beta} + \sin{5\beta}\sin{2\beta} = \cos(5\beta - 2\beta) = \cos(3\beta) $.
Ответ: $ \cos(3\beta) $.

3) Данное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{7} + \alpha)\cos(\frac{15\pi}{14} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{7} + \alpha)\sin(\frac{15\pi}{14} - \alpha) $.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} $.
Здесь $ x = \frac{\pi}{7} + \alpha $ и $ y = \frac{15\pi}{14} - \alpha $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos\left(\left(\frac{\pi}{7} + \alpha\right) + \left(\frac{15\pi}{14} - \alpha\right)\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ \frac{\pi}{7} + \alpha + \frac{15\pi}{14} - \alpha = \frac{2\pi}{14} + \frac{15\pi}{14} = \frac{17\pi}{14} $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\frac{17\pi}{14}) $.
Можно упростить это значение, используя формулы приведения:
$ \cos(\frac{17\pi}{14}) = \cos(\pi + \frac{3\pi}{14}) = -\cos(\frac{3\pi}{14}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{3\pi}{14}) $.

4) Данное выражение: $ \cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha)\cos(\frac{2\pi}{5} + \alpha) + \sin(\frac{7\pi}{5} + \alpha)\sin(\frac{2\pi}{5} + \alpha) $.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} $.
Здесь $ x = \frac{7\pi}{5} + \alpha $ и $ y = \frac{2\pi}{5} + \alpha $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos\left(\left(\frac{7\pi}{5} + \alpha\right) - \left(\frac{2\pi}{5} + \alpha\right)\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ \frac{7\pi}{5} + \alpha - \frac{2\pi}{5} - \alpha = \frac{7\pi - 2\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\pi) $.
Значение $ \cos(\pi) $ равно -1.
Ответ: $ -1 $.

1028. Найти значение выражения:

1) $ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ $

2) $ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ $

3) $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $

4) $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $

1) Для вычисления значения выражения $ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ = \sin(73^\circ + 17^\circ) = \sin(90^\circ) $.
Значение синуса $ 90^\circ $ равно 1.
Ответ: 1

2) Для вычисления значения выражения $ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 13^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ = \sin(73^\circ - 13^\circ) = \sin(60^\circ) $.
Значение синуса $ 60^\circ $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Выражение $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $ можно переписать как $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} $, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $.
Значение синуса $ \frac{\pi}{2} $ равно 1.
Ответ: 1

4) Выражение $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $ можно переписать как $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{7\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} $, что соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставим значения в формулу:
$ \sin(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $.
Значение синуса $ \frac{\pi}{2} $ равно 1.
Ответ: 1

1029. Вычислить:

1) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$, если $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Для вычисления $sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применяя эту формулу, получаем: $sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$.

По условию задачи, $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $π < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти.

Найдем $sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь подставим известные значения в формулу синуса суммы. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$.

Ответ: $-\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$

2) Для вычисления $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Применяя эту формулу, получаем: $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$.

По условию задачи, $sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти.

Найдем $cos(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен, поэтому $cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Теперь подставим известные значения в формулу синуса разности. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{7}}{3}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{2 + \sqrt{14}}{6}$.

Ответ: $-\frac{2 + \sqrt{14}}{6}$