Страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1030. Упростить выражение:

1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta)$;

2) $\cos(-\alpha)\sin(-\beta) - \sin(\alpha - \beta)$;

3) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \sin(\alpha - \beta)$;

4) $\sin(\alpha + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin(-\beta)$.

1) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(-\alpha)cos(-\beta)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.
Используем свойства четности и нечетности функций: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция) и $cos(-\beta) = cos(\beta)$ (косинус — четная функция).
Тогда выражение $sin(-\alpha)cos(-\beta)$ превращается в $-sin(\alpha)cos(\beta)$.
Исходное выражение принимает вид: $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha)cos(\beta)$.
Теперь применим формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим это в наше выражение:
$(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - sin(\alpha)cos(\beta)$.
После сокращения взаимно уничтожающихся членов $sin(\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(\alpha)cos(\beta)$ получаем:
$cos(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha)sin(\beta)$.

2) Для упрощения выражения $cos(-\alpha)sin(-\beta) - sin(\alpha - \beta)$ используем свойства четности/нечетности и формулу синуса разности.
Свойства функций: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$ и $sin(-\beta) = -sin(\beta)$.
Первый член выражения: $cos(-\alpha)sin(-\beta) = cos(\alpha)(-sin(\beta)) = -cos(\alpha)sin(\beta)$.
Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим все в исходное выражение:
$-cos(\alpha)sin(\beta) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$.
Раскроем скобки:
$-cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Сократим подобные слагаемые $-cos(\alpha)sin(\beta)$ и $+cos(\alpha)sin(\beta)$:
$-sin(\alpha)cos(\beta)$.
Ответ: $-sin(\alpha)cos(\beta)$.

3) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(\frac{\pi}{2} - \beta) - sin(\alpha - \beta)$ применим формулы приведения и формулу синуса разности.
Формулы приведения:
$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = cos(\beta)$.
Таким образом, первая часть выражения упрощается до $sin(\alpha)cos(\beta)$.
Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставим все в исходное выражение:
$sin(\alpha)cos(\beta) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$sin(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(\alpha)cos(\beta)$ сокращаются, и остается:
$cos(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha)sin(\beta)$.

4) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(-\beta)$ используем формулу синуса суммы, формулу приведения и свойство нечетности синуса.
Формула приведения: $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$.
Свойство нечетности: $sin(-\beta) = -sin(\beta)$.
Тогда второй член выражения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(-\beta)$ равен $cos(\alpha)(-sin(\beta)) = -cos(\alpha)sin(\beta)$.
Формула синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Подставляем все в исходное выражение:
$(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Приводим подобные слагаемые:
$sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$cos(\alpha)sin(\beta)$ и $-cos(\alpha)sin(\beta)$ взаимно уничтожаются, и в итоге получаем:
$sin(\alpha)cos(\beta)$.
Ответ: $sin(\alpha)cos(\beta)$.

1031. Вычислить $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$, $\sin\beta = \frac{8}{17}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для решения задачи нам понадобятся формулы косинуса суммы и косинуса разности углов:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

Прежде всего, найдем значения $cos\alpha$ и $cos\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

Для угла $\alpha$ известно, что $sin\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV четверти, где косинус положителен ($cos\alpha > 0$).

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Следовательно, $cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Для угла $\beta$ известно, что $sin\beta = \frac{8}{17}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует I четверти, где косинус также положителен ($cos\beta > 0$).

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289-64}{289} = \frac{225}{289}$

Следовательно, $cos\beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Теперь мы можем вычислить искомые выражения.

cos(α + β)

Подставим известные значения ($sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$, $sin\beta = \frac{8}{17}$, $cos\beta = \frac{15}{17}$) в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} - (-\frac{24}{85}) = \frac{60 + 24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $cos(\alpha + \beta) = \frac{84}{85}$.

cos(α - β)

Подставим те же значения в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85}$

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = \frac{36}{85}$.

1032. Вычислить $sin(\alpha - \beta)$, если $cos \alpha = -0,8$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

Для вычисления $ \sin(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулой синуса разности:

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $

Для применения этой формулы нам необходимо найти значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $, используя данные из условия.

Сначала найдем $ \sin\alpha $. Нам дано, что $ \cos\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5} $ и угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $). Во второй четверти синус положителен ($ \sin\alpha > 0 $). Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $

Поскольку $ \sin\alpha > 0 $, то $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

Теперь найдем $ \cos\beta $. Нам дано, что $ \sin\beta = -\frac{12}{13} $ и угол $ \beta $ находится в третьей четверти ($ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $). В третьей четверти косинус отрицателен ($ \cos\beta < 0 $). Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $, получаем:

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Поскольку $ \cos\beta < 0 $, то $ \cos\beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

Подставим все найденные и данные значения в формулу синуса разности:

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) $

$ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = \frac{-15 - 48}{65} = -\frac{63}{65} $

Ответ: $ -\frac{63}{65} $

1033. Вычислить $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \cos\beta = \frac{8}{17} $, $ \frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi $.

Для вычисления $tg(α + β)$ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$tg(α + β) = \frac{tg(α) + tg(β)}{1 - tg(α)tg(β)}$

Чтобы применить эту формулу, нам необходимо найти значения $tg(α)$ и $tg(β)$, зная $sin(α)$, $cos(β)$ и в каких четвертях находятся углы $α$ и $β$.

Найдем $tg(α)$

Дано, что $sin(α) = \frac{4}{5}$ и угол $α$ находится во второй четверти ($\frac{π}{2} < α < π$). В этой четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны. Найдем $cos(α)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$.

$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Так как $α$ находится во второй четверти, $cos(α) < 0$, поэтому:

$cos(α) = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Теперь можем вычислить $tg(α)$:

$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

Найдем $tg(β)$

Дано, что $cos(β) = \frac{8}{17}$ и угол $β$ находится в четвертой четверти ($\frac{3π}{2} < β < 2π$). В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны. Найдем $sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(β) + cos^2(β) = 1$.

$sin^2(β) = 1 - cos^2(β) = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.

Так как $β$ находится в четвертой четверти, $sin(β) < 0$, поэтому:

$sin(β) = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$.

Теперь можем вычислить $tg(β)$:

$tg(β) = \frac{sin(β)}{cos(β)} = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8}$.

Вычислим $tg(α + β)$

Подставим найденные значения $tg(α) = -\frac{4}{3}$ и $tg(β) = -\frac{15}{8}$ в формулу тангенса суммы:

$tg(α + β) = \frac{tg(α) + tg(β)}{1 - tg(α)tg(β)} = \frac{-\frac{4}{3} + (-\frac{15}{8})}{1 - (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{15}{8})} = \frac{-\frac{4}{3} - \frac{15}{8}}{1 - \frac{4 \cdot 15}{3 \cdot 8}}$.

Вычислим числитель дроби:

$-\frac{4}{3} - \frac{15}{8} = -\frac{4 \cdot 8}{24} - \frac{15 \cdot 3}{24} = -\frac{32}{24} - \frac{45}{24} = -\frac{77}{24}$.

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{60}{24} = 1 - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем итоговое значение, разделив числитель на знаменатель:

$tg(α + β) = \frac{-77/24}{-3/2} = \frac{77}{24} \cdot \frac{2}{3} = \frac{77 \cdot 2}{24 \cdot 3} = \frac{77}{12 \cdot 3} = \frac{77}{36}$.

Ответ: $ \frac{77}{36} $.

1034. Упростить выражение:

1) $cos(\\alpha - \\beta) - cos(\\alpha + \\beta)$;

2) $cos(\\frac{\\pi}{4} + \\alpha) cos(\\frac{\\pi}{4} - \\alpha) + \\frac{1}{2}\\sin^2\\alpha$;

3) $cos3\\alpha + sin\\alpha sin2\\alpha$;

4) $cos2\\alpha - cos\\alpha cos3\\alpha$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами косинуса разности и косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ и $cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\sin\beta$.
Ответ: $2\sin\alpha\sin\beta$

2) Для упрощения первого слагаемого $cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $cosA \cdot cosB = \frac{1}{2}(cos(A+B) + cos(A-B))$.
В нашем случае $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда $A+B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, а $A-B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\alpha$.
Следовательно, $cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{2}) + cos(2\alpha))$.
Так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $\frac{1}{2}(0 + cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}cos(2\alpha)$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}sin^2\alpha$.
Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки и воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$:
$\frac{1}{2}(cos(2\alpha) + sin^2\alpha) = \frac{1}{2}(cos^2\alpha - sin^2\alpha + sin^2\alpha) = \frac{1}{2}cos^2\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos^2\alpha$

3) Представим $cos(3\alpha)$ как косинус суммы двух углов: $cos(3\alpha) = cos(2\alpha + \alpha)$.
Используем формулу косинуса суммы: $cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB$.
$cos(2\alpha + \alpha) = cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$cos(3\alpha) + sin\alpha sin(2\alpha) = (cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha)) + sin\alpha sin(2\alpha)$.
Взаимно уничтожаем слагаемые $-sin(2\alpha)sin(\alpha)$ и $sin\alpha sin(2\alpha)$:
$cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha) + sin(2\alpha)sin(\alpha) = cos(2\alpha)cos(\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)cos(\alpha)$

4) Представим $cos(2\alpha)$ как косинус разности двух углов: $cos(2\alpha) = cos(3\alpha - \alpha)$.
Используем формулу косинуса разности: $cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB$.
$cos(3\alpha - \alpha) = cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$cos(2\alpha) - cos\alpha cos(3\alpha) = (cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha)) - cos\alpha cos(3\alpha)$.
Сокращаем одинаковые слагаемые с противоположными знаками:
$cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha) - cos(3\alpha)cos(\alpha) = sin(3\alpha)sin(\alpha)$.
Ответ: $sin(3\alpha)sin(\alpha)$

1035. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta};$

2) $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + 1}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\beta - 1};$

3) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha);$

4) $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\sin\beta} = \text{ctg}\beta - \text{tg}\alpha.$

1) Докажем тождество $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}$

Чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\cos\alpha\cos\beta$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\cos\beta \neq 0$, что является областью определения для $\tg\alpha$ и $\tg\beta$):

$\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$

По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, поэтому полученное выражение равно:

$\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta + 1}{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta - 1}$.

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса разности и косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}$

Чтобы перейти к котангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\sin\alpha\sin\beta$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\sin\beta \neq 0$, что является областью определения для $\ctg\alpha$ и $\ctg\beta$):

$\frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + 1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - 1}$

По определению котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, поэтому получаем:

$\frac{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta + 1}{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta - 1}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$.

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы:

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha$

Мы знаем табличные значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за скобки:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\sin\beta} = \ctg\beta - \tg\alpha$.

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем косинус суммы в числителе:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta}$

Разделим дробь на две:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе каждой дроби:

В первой дроби сокращается $\cos\alpha$, во второй — $\sin\beta$.

$\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Используя определения котангенса ($\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$) и тангенса ($\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$), получаем:

$\ctg\beta - \tg\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Вычислить (1036-1037).

1036. 1) $\frac{\text{tg}29^\circ + \text{tg}31^\circ}{1 - \text{tg}29^\circ \text{tg}31^\circ}$

2) $\frac{\text{tg}\frac{7}{16}\pi - \text{tg}\frac{3}{16}\pi}{1 + \text{tg}\frac{7}{16}\pi \text{tg}\frac{3}{16}\pi}$

3) $\frac{1 + \text{tg}10^\circ \text{tg}55^\circ}{\text{tg}55^\circ - \text{tg}10^\circ}$

4) $\frac{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}17^\circ}{\text{tg}17^\circ + \text{tg}13^\circ}$

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 29^\circ$ и $\beta = 31^\circ$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\frac{\text{tg}29^\circ + \text{tg}31^\circ}{1 - \text{tg}29^\circ \text{tg}31^\circ} = \text{tg}(29^\circ + 31^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$

Значение тангенса 60 градусов является табличным:

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2) Для вычисления данного выражения применим формулу тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В данном примере $\alpha = \frac{7\pi}{16}$ и $\beta = \frac{3\pi}{16}$. Подставим значения в формулу:

$\frac{\text{tg}\frac{7\pi}{16} - \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{16} \text{tg}\frac{3\pi}{16}} = \text{tg}(\frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}) = \text{tg}(\frac{4\pi}{16}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса $\frac{\pi}{4}$ (или 45 градусов) равно 1.

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $1$

3) Данное выражение можно преобразовать, заметив, что оно является обратным к формуле тангенса разности, или же соответствует формуле котангенса разности.

Формула котангенса разности двух углов:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 55^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Применим формулу:

$\frac{1 + \text{tg}10^\circ \text{tg}55^\circ}{\text{tg}55^\circ - \text{tg}10^\circ} = \text{ctg}(55^\circ - 10^\circ) = \text{ctg}(45^\circ)$

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

$\text{ctg}(45^\circ) = 1$

Ответ: $1$

4) Это выражение соответствует формуле котангенса суммы двух углов.

Формула котангенса суммы двух углов:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

В нашем примере $\alpha = 17^\circ$ и $\beta = 13^\circ$ (или наоборот, так как сложение и умножение коммутативны). Подставим значения:

$\frac{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}17^\circ}{\text{tg}17^\circ + \text{tg}13^\circ} = \text{ctg}(17^\circ + 13^\circ) = \text{ctg}(30^\circ)$

Значение котангенса 30 градусов является табличным:

$\text{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

1037.

1) $\text{tg}(\alpha + \beta)$, если $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ и $\text{tg}\beta = 2,4$;

2) $\text{ctg}(\alpha - \beta)$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{4}{3}$ и $\text{ctg}\beta = -1$.

1) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$$

Даны значения $tg\alpha = -\frac{3}{4}$ и $tg\beta = 2,4$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

Теперь подставим известные значения в формулу:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5}}$$

Вычислим числитель:

$$-\frac{3}{4} + \frac{12}{5} = \frac{-3 \cdot 5 + 12 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{-15 + 48}{20} = \frac{33}{20}$$

Вычислим знаменатель:

$$1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5} = 1 - (-\frac{36}{20}) = 1 + \frac{36}{20} = 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}} = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33 \cdot 5}{20 \cdot 14} = \frac{33}{4 \cdot 14} = \frac{33}{56}$$

Ответ: $\frac{33}{56}$

2) Для решения этой задачи воспользуемся формулой котангенса разности двух углов:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$$

Даны значения $ctg\alpha = \frac{4}{3}$ и $ctg\beta = -1$.

Подставим известные значения в формулу:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1}{-1 - \frac{4}{3}}$$

Вычислим числитель:

$$\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$$

Вычислим знаменатель:

$$-1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = \frac{-3-4}{3} = -\frac{7}{3}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{7}{3}} = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3}{7}) = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{1}{7}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$

Упростить выражение (1038–1039).

1038.

$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}$

1038.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)} $$

Шаг 1: Раскроем каждое слагаемое в числителе и знаменателе, используя формулы сложения аргументов:

$ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

$ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $

Применим эти формулы:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha $

Шаг 2: Подставим табличные значения тригонометрических функций для углов $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{3} $:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

В результате получаем:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

Шаг 3: Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби и выполним упрощение.

Преобразуем числитель:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = $

$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = $

$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha = \cos\alpha $

Шаг 4: Запишем полученную дробь и упростим ее, используя определение тангенса $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

$$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3}\tan\alpha $$

Ответ: $ \sqrt{3}\tan\alpha $.

1039. 1) $\sin \alpha \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha$;

2) $\sin 5\beta \cos 3\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta$.

1) Чтобы упростить выражение $ \sin\alpha\cos2\alpha + \sin2\alpha\cos\alpha $, мы можем использовать формулу синуса суммы двух углов. Эта формула выглядит следующим образом:

$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

Сравнивая исходное выражение с этой формулой, мы видим, что оно точно соответствует правой части, если мы примем $ x = \alpha $ и $ y = 2\alpha $.

Таким образом, мы можем записать:

$ \sin\alpha\cos2\alpha + \sin2\alpha\cos\alpha = \sin\alpha\cos2\alpha + \cos\alpha\sin2\alpha = \sin(\alpha + 2\alpha) $

Сложив углы в аргументе синуса, получаем конечный результат:

$ \sin(\alpha + 2\alpha) = \sin(3\alpha) $

Ответ: $ \sin(3\alpha) $

2) Чтобы упростить выражение $ \sin5\beta\cos3\beta - \sin3\beta\cos5\beta $, мы можем использовать формулу синуса разности двух углов. Формула имеет вид:

$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

Сравнивая исходное выражение с этой формулой, мы видим, что оно полностью совпадает с правой частью, если принять $ x = 5\beta $ и $ y = 3\beta $. Обратите внимание, что $ \sin3\beta\cos5\beta $ это то же самое, что и $ \cos5\beta\sin3\beta $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin5\beta\cos3\beta - \sin3\beta\cos5\beta = \sin(5\beta - 3\beta) $

Вычитая углы в аргументе синуса, получаем итоговое выражение:

$ \sin(5\beta - 3\beta) = \sin(2\beta) $

Ответ: $ \sin(2\beta) $