Номер 1035, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1035. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta};$

2) $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + 1}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\beta - 1};$

3) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha);$

4) $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\sin\beta} = \text{ctg}\beta - \text{tg}\alpha.$

1) Докажем тождество $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}$

Чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\cos\alpha\cos\beta$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\cos\beta \neq 0$, что является областью определения для $\tg\alpha$ и $\tg\beta$):

$\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$

По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, поэтому полученное выражение равно:

$\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha - \tg\beta}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta + 1}{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta - 1}$.

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса разности и косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}$

Чтобы перейти к котангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\sin\alpha\sin\beta$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ и $\sin\beta \neq 0$, что является областью определения для $\ctg\alpha$ и $\ctg\beta$):

$\frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + 1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - 1}$

По определению котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, поэтому получаем:

$\frac{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta + 1}{\ctg\alpha \cdot \ctg\beta - 1}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$.

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы:

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha$

Мы знаем табличные значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за скобки:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\sin\beta} = \ctg\beta - \tg\alpha$.

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем косинус суммы в числителе:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta}$

Разделим дробь на две:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе каждой дроби:

В первой дроби сокращается $\cos\alpha$, во второй — $\sin\beta$.

$\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Используя определения котангенса ($\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$) и тангенса ($\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$), получаем:

$\ctg\beta - \tg\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.