Номер 1034, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1034. Упростить выражение:

1) $cos(\\alpha - \\beta) - cos(\\alpha + \\beta)$;

2) $cos(\\frac{\\pi}{4} + \\alpha) cos(\\frac{\\pi}{4} - \\alpha) + \\frac{1}{2}\\sin^2\\alpha$;

3) $cos3\\alpha + sin\\alpha sin2\\alpha$;

4) $cos2\\alpha - cos\\alpha cos3\\alpha$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами косинуса разности и косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ и $cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\sin\beta$.
Ответ: $2\sin\alpha\sin\beta$

2) Для упрощения первого слагаемого $cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $cosA \cdot cosB = \frac{1}{2}(cos(A+B) + cos(A-B))$.
В нашем случае $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда $A+B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, а $A-B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\alpha$.
Следовательно, $cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{2}) + cos(2\alpha))$.
Так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $\frac{1}{2}(0 + cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}cos(2\alpha)$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}sin^2\alpha$.
Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки и воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$:
$\frac{1}{2}(cos(2\alpha) + sin^2\alpha) = \frac{1}{2}(cos^2\alpha - sin^2\alpha + sin^2\alpha) = \frac{1}{2}cos^2\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos^2\alpha$

3) Представим $cos(3\alpha)$ как косинус суммы двух углов: $cos(3\alpha) = cos(2\alpha + \alpha)$.
Используем формулу косинуса суммы: $cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB$.
$cos(2\alpha + \alpha) = cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$cos(3\alpha) + sin\alpha sin(2\alpha) = (cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha)) + sin\alpha sin(2\alpha)$.
Взаимно уничтожаем слагаемые $-sin(2\alpha)sin(\alpha)$ и $sin\alpha sin(2\alpha)$:
$cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha) + sin(2\alpha)sin(\alpha) = cos(2\alpha)cos(\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)cos(\alpha)$

4) Представим $cos(2\alpha)$ как косинус разности двух углов: $cos(2\alpha) = cos(3\alpha - \alpha)$.
Используем формулу косинуса разности: $cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB$.
$cos(3\alpha - \alpha) = cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha)$.
Теперь подставим это выражение в исходное:
$cos(2\alpha) - cos\alpha cos(3\alpha) = (cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha)) - cos\alpha cos(3\alpha)$.
Сокращаем одинаковые слагаемые с противоположными знаками:
$cos(3\alpha)cos(\alpha) + sin(3\alpha)sin(\alpha) - cos(3\alpha)cos(\alpha) = sin(3\alpha)sin(\alpha)$.
Ответ: $sin(3\alpha)sin(\alpha)$