Номер 1037, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1037.

1) $\text{tg}(\alpha + \beta)$, если $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ и $\text{tg}\beta = 2,4$;

2) $\text{ctg}(\alpha - \beta)$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{4}{3}$ и $\text{ctg}\beta = -1$.

1) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$$

Даны значения $tg\alpha = -\frac{3}{4}$ и $tg\beta = 2,4$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

Теперь подставим известные значения в формулу:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5}}$$

Вычислим числитель:

$$-\frac{3}{4} + \frac{12}{5} = \frac{-3 \cdot 5 + 12 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{-15 + 48}{20} = \frac{33}{20}$$

Вычислим знаменатель:

$$1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5} = 1 - (-\frac{36}{20}) = 1 + \frac{36}{20} = 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}} = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33 \cdot 5}{20 \cdot 14} = \frac{33}{4 \cdot 14} = \frac{33}{56}$$

Ответ: $\frac{33}{56}$

2) Для решения этой задачи воспользуемся формулой котангенса разности двух углов:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$$

Даны значения $ctg\alpha = \frac{4}{3}$ и $ctg\beta = -1$.

Подставим известные значения в формулу:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1}{-1 - \frac{4}{3}}$$

Вычислим числитель:

$$\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$$

Вычислим знаменатель:

$$-1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = \frac{-3-4}{3} = -\frac{7}{3}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$ctg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{7}{3}} = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3}{7}) = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{1}{7}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$