Страница 300 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Выразить данный синус, косинус или тангенс с помощью формулы двойного угла (1045—1046).

1) $\sin 48^\circ$; 2) $\cos 164^\circ$; 3) $\operatorname{tg} 92^\circ$; 4) $\sin \frac{4\pi}{3}$; 5) $\cos \frac{5\pi}{3}$.

1) Для того чтобы выразить $sin(48^{\circ})$ с помощью формулы двойного угла, необходимо представить угол $48^{\circ}$ в виде $2\alpha$. В данном случае $48^{\circ} = 2 \cdot 24^{\circ}$, следовательно, $\alpha = 24^{\circ}$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Подставив значение $\alpha = 24^{\circ}$, получаем:
$sin(48^{\circ}) = sin(2 \cdot 24^{\circ}) = 2sin(24^{\circ})cos(24^{\circ})$.
Ответ: $2sin(24^{\circ})cos(24^{\circ})$.

2) Чтобы выразить $cos(164^{\circ})$ через формулу двойного угла, представим угол $164^{\circ}$ как $2 \cdot 82^{\circ}$. Таким образом, $\alpha = 82^{\circ}$.
Используем одну из формул косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.
Подставим $\alpha = 82^{\circ}$ в формулу:
$cos(164^{\circ}) = cos(2 \cdot 82^{\circ}) = cos^2(82^{\circ}) - sin^2(82^{\circ})$.
(Также можно использовать альтернативные формы: $cos(164^{\circ}) = 2cos^2(82^{\circ}) - 1$ или $cos(164^{\circ}) = 1 - 2sin^2(82^{\circ})$).
Ответ: $cos^2(82^{\circ}) - sin^2(82^{\circ})$.

3) Для выражения $tg(92^{\circ})$ с помощью формулы двойного угла, представим угол $92^{\circ}$ как $2 \cdot 46^{\circ}$. Значит, $\alpha = 46^{\circ}$.
Формула тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$.
Подставим наше значение $\alpha = 46^{\circ}$:
$tg(92^{\circ}) = tg(2 \cdot 46^{\circ}) = \frac{2tg(46^{\circ})}{1 - tg^2(46^{\circ})}$.
Ответ: $\frac{2tg(46^{\circ})}{1 - tg^2(46^{\circ})}$.

4) Чтобы выразить $sin(\frac{4\pi}{3})$ через формулу двойного угла, представим угол $\frac{4\pi}{3}$ как $2 \cdot \frac{2\pi}{3}$. Здесь $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Подставив $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, получим:
$sin(\frac{4\pi}{3}) = sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 2sin(\frac{2\pi}{3})cos(\frac{2\pi}{3})$.
Ответ: $2sin(\frac{2\pi}{3})cos(\frac{2\pi}{3})$.

5) Для выражения $cos(\frac{5\pi}{3})$ с помощью формулы двойного угла, представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2 \cdot \frac{5\pi}{6}$. В этом случае $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.
Подставим $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ в формулу:
$cos(\frac{5\pi}{3}) = cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = cos^2(\frac{5\pi}{6}) - sin^2(\frac{5\pi}{6})$.
Ответ: $cos^2(\frac{5\pi}{6}) - sin^2(\frac{5\pi}{6})$.

1046. 1) $\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right);$

2) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right);$

3) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

5) $\sin\alpha;$

6) $\cos\alpha.$

1) $\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha)$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

В данном выражении $x = \frac{2\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

Подставим значения в формулу:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos\alpha - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin\alpha$.

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{2\pi}{3}$. Этот угол находится во второй четверти.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = (-\frac{1}{2})\cos\alpha - (\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha = -\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

2) $\sin(\frac{\pi}{4} + \beta)$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \beta$.

Подставим значения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos\beta + \cos(\frac{\pi}{4})\sin\beta$.

Значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ известны:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\beta + \cos\beta)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\beta + \cos\beta)$.

3) $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Это выражение можно упростить с помощью формул приведения. Так как в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, косинус меняется на свою кофункцию, то есть синус. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в первой координатной четверти, где косинус положителен. Поэтому знак итогового выражения будет "+".

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.

Также можно применить формулу косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{2}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{2}\sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

4) $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Это выражение также упрощается с помощью формул приведения. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, косинус меняется на синус. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Поэтому знак итогового выражения будет "+".

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$.

В качестве альтернативы применим формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos\frac{3\pi}{2}\cos\alpha - \sin\frac{3\pi}{2}\sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

5) $\sin\alpha$

Выражение $\sin\alpha$ является одной из основных тригонометрических функций и уже находится в своей простейшей форме. Дальнейшее упрощение невозможно без дополнительной информации об угле $\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

6) $\cos\alpha$

Выражение $\cos\alpha$ является одной из основных тригонометрических функций и представлено в простейшем виде. Дальнейшее упрощение невозможно без дополнительного контекста.

Ответ: $\cos\alpha$.

Вычислить, не используя калькулятор (1047–1049).

1047. 1) $2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$; 2) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

3) $\frac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}$; 4) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$.

1) Для вычисления выражения $2\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = 15^\circ$.
Подставим значение угла в формулу:
$2\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
Применим формулу:
$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Табличное значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Дробь $\frac{2\text{tg}15^\circ}{1 - \text{tg}^2 15^\circ}$ является формулой тангенса двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$.
В этом выражении $\alpha = 15^\circ$.
Используем формулу:
$\frac{2\text{tg}15^\circ}{1 - \text{tg}^2 15^\circ} = \text{tg}(2 \cdot 15^\circ) = \text{tg}(30^\circ)$.
Значение $\text{tg}(30^\circ)$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или, избавившись от иррациональности в знаменателе, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Чтобы вычислить $(\cos75^\circ - \sin75^\circ)^2$, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\cos75^\circ - \sin75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2\cos75^\circ \sin75^\circ + \sin^2 75^\circ$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2\sin75^\circ \cos75^\circ$.
Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, равно единице.
Выражение $2\sin75^\circ \cos75^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла $\sin(2\alpha)$.
Таким образом, получаем:
$1 - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin(150^\circ)$.
Используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Подставляем полученное значение в выражение: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.