Номер 1046, страница 300 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1046. 1) $\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right);$

2) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right);$

3) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

5) $\sin\alpha;$

6) $\cos\alpha.$

1) $\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha)$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

В данном выражении $x = \frac{2\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

Подставим значения в формулу:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{3})\cos\alpha - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin\alpha$.

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{2\pi}{3}$. Этот угол находится во второй четверти.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$\cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = (-\frac{1}{2})\cos\alpha - (\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha = -\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

2) $\sin(\frac{\pi}{4} + \beta)$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \beta$.

Подставим значения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos\beta + \cos(\frac{\pi}{4})\sin\beta$.

Значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ известны:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\beta + \cos\beta)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\beta + \cos\beta)$.

3) $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Это выражение можно упростить с помощью формул приведения. Так как в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, косинус меняется на свою кофункцию, то есть синус. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в первой координатной четверти, где косинус положителен. Поэтому знак итогового выражения будет "+".

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.

Также можно применить формулу косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{2}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{2}\sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

4) $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Это выражение также упрощается с помощью формул приведения. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, косинус меняется на синус. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Поэтому знак итогового выражения будет "+".

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$.

В качестве альтернативы применим формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos\frac{3\pi}{2}\cos\alpha - \sin\frac{3\pi}{2}\sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

5) $\sin\alpha$

Выражение $\sin\alpha$ является одной из основных тригонометрических функций и уже находится в своей простейшей форме. Дальнейшее упрощение невозможно без дополнительной информации об угле $\alpha$.

Ответ: $\sin\alpha$.

6) $\cos\alpha$

Выражение $\cos\alpha$ является одной из основных тригонометрических функций и представлено в простейшем виде. Дальнейшее упрощение невозможно без дополнительного контекста.

Ответ: $\cos\alpha$.