Номер 1045, страница 300 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Выразить данный синус, косинус или тангенс с помощью формулы двойного угла (1045—1046).

1) $\sin 48^\circ$; 2) $\cos 164^\circ$; 3) $\operatorname{tg} 92^\circ$; 4) $\sin \frac{4\pi}{3}$; 5) $\cos \frac{5\pi}{3}$.

1) Для того чтобы выразить $sin(48^{\circ})$ с помощью формулы двойного угла, необходимо представить угол $48^{\circ}$ в виде $2\alpha$. В данном случае $48^{\circ} = 2 \cdot 24^{\circ}$, следовательно, $\alpha = 24^{\circ}$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Подставив значение $\alpha = 24^{\circ}$, получаем:
$sin(48^{\circ}) = sin(2 \cdot 24^{\circ}) = 2sin(24^{\circ})cos(24^{\circ})$.
Ответ: $2sin(24^{\circ})cos(24^{\circ})$.

2) Чтобы выразить $cos(164^{\circ})$ через формулу двойного угла, представим угол $164^{\circ}$ как $2 \cdot 82^{\circ}$. Таким образом, $\alpha = 82^{\circ}$.
Используем одну из формул косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.
Подставим $\alpha = 82^{\circ}$ в формулу:
$cos(164^{\circ}) = cos(2 \cdot 82^{\circ}) = cos^2(82^{\circ}) - sin^2(82^{\circ})$.
(Также можно использовать альтернативные формы: $cos(164^{\circ}) = 2cos^2(82^{\circ}) - 1$ или $cos(164^{\circ}) = 1 - 2sin^2(82^{\circ})$).
Ответ: $cos^2(82^{\circ}) - sin^2(82^{\circ})$.

3) Для выражения $tg(92^{\circ})$ с помощью формулы двойного угла, представим угол $92^{\circ}$ как $2 \cdot 46^{\circ}$. Значит, $\alpha = 46^{\circ}$.
Формула тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$.
Подставим наше значение $\alpha = 46^{\circ}$:
$tg(92^{\circ}) = tg(2 \cdot 46^{\circ}) = \frac{2tg(46^{\circ})}{1 - tg^2(46^{\circ})}$.
Ответ: $\frac{2tg(46^{\circ})}{1 - tg^2(46^{\circ})}$.

4) Чтобы выразить $sin(\frac{4\pi}{3})$ через формулу двойного угла, представим угол $\frac{4\pi}{3}$ как $2 \cdot \frac{2\pi}{3}$. Здесь $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Подставив $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, получим:
$sin(\frac{4\pi}{3}) = sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 2sin(\frac{2\pi}{3})cos(\frac{2\pi}{3})$.
Ответ: $2sin(\frac{2\pi}{3})cos(\frac{2\pi}{3})$.

5) Для выражения $cos(\frac{5\pi}{3})$ с помощью формулы двойного угла, представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2 \cdot \frac{5\pi}{6}$. В этом случае $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.
Подставим $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ в формулу:
$cos(\frac{5\pi}{3}) = cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = cos^2(\frac{5\pi}{6}) - sin^2(\frac{5\pi}{6})$.
Ответ: $cos^2(\frac{5\pi}{6}) - sin^2(\frac{5\pi}{6})$.