Номер 1025, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1025. Найти значение выражения:

1) $ \cos 57^\circ 30^\prime \cos 27^\circ 30^\prime + \sin 57^\circ 30^\prime \sin 27^\circ 30^\prime; $

2) $ \cos 19^\circ 30^\prime \cos 25^\circ 30^\prime - \sin 19^\circ 30^\prime \sin 25^\circ 30^\prime; $

3) $ \cos \frac{7\pi}{9} \cos \frac{11\pi}{9} - \sin \frac{7\pi}{9} \sin \frac{11\pi}{9}; $

4) $ \cos \frac{8\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \sin \frac{\pi}{7}. $

1)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. Это формула косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = 57^\circ 30' $ и $ \beta = 27^\circ 30' $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos 57^\circ 30' \cos 27^\circ 30' + \sin 57^\circ 30' \sin 27^\circ 30' = \cos(57^\circ 30' - 27^\circ 30') $.
Вычислим разность углов: $ 57^\circ 30' - 27^\circ 30' = (57 - 27)^\circ (30 - 30)' = 30^\circ $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(30^\circ) $.
Значение $ \cos(30^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. Это формула косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = 19^\circ 30' $ и $ \beta = 25^\circ 30' $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos 19^\circ 30' \cos 25^\circ 30' - \sin 19^\circ 30' \sin 25^\circ 30' = \cos(19^\circ 30' + 25^\circ 30') $.
Вычислим сумму углов. Учитывая, что $ 60' = 1^\circ $: $ 19^\circ 30' + 25^\circ 30' = (19 + 25)^\circ (30 + 30)' = 44^\circ 60' = 44^\circ + 1^\circ = 45^\circ $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(45^\circ) $.
Значение $ \cos(45^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

3)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $, что соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = \frac{7\pi}{9} $ и $ \beta = \frac{11\pi}{9} $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos\frac{7\pi}{9} \cos\frac{11\pi}{9} - \sin\frac{7\pi}{9} \sin\frac{11\pi}{9} = \cos(\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9}) $.
Вычислим сумму углов: $ \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} = \frac{7\pi + 11\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(2\pi) $.
Значение $ \cos(2\pi) $ равно $1$.
Ответ: $ 1 $

4)

Данное выражение имеет вид $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, что соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
В данном случае, $ \alpha = \frac{8\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{\pi}{7} $.
Применяя формулу, получаем: $ \cos\frac{8\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7} \sin\frac{\pi}{7} = \cos(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}) $.
Вычислим разность углов: $ \frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi - \pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\pi) $.
Значение $ \cos(\pi) $ равно $-1$.
Ответ: $ -1 $