Номер 1023, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1023. Сравнить с нулём:

1) $\sin(-110^\circ)\cos(-110^\circ)\operatorname{tg}(-110^\circ)$;

2) $\sin(-4)\cos(-5)\operatorname{tg}(-1)$.

1) $sin(-110^\circ)cos(-110^\circ)tg(-110^\circ)$
Для определения знака выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций. Синус и тангенс являются нечетными функциями ($sin(-x) = -sin(x)$, $tg(-x) = -tg(x)$), а косинус — четной функцией ($cos(-x) = cos(x)$).
Преобразуем исходное выражение:
$sin(-110^\circ)cos(-110^\circ)tg(-110^\circ) = (-sin(110^\circ)) \cdot (cos(110^\circ)) \cdot (-tg(110^\circ)) = sin(110^\circ)cos(110^\circ)tg(110^\circ)$.
Используя основное тригонометрическое тождество для тангенса $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, получаем:
$sin(110^\circ)cos(110^\circ) \cdot \frac{sin(110^\circ)}{cos(110^\circ)}$.
Поскольку $cos(110^\circ) \ne 0$, мы можем сократить выражение:
$sin(110^\circ) \cdot sin(110^\circ) = sin^2(110^\circ)$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Так как $sin(110^\circ) \ne 0$ (поскольку $110^\circ$ не кратно $180^\circ$), то $sin^2(110^\circ) > 0$.
Следовательно, исходное выражение больше нуля.
Ответ: > 0

2) $sin(-4)cos(-5)tg(-1)$
Аргументы тригонометрических функций даны в радианах, так как отсутствует знак градуса. Применим свойства четности и нечетности:
$sin(-4)cos(-5)tg(-1) = (-sin(4)) \cdot (cos(5)) \cdot (-tg(1)) = sin(4)cos(5)tg(1)$.
Определим знак каждого множителя, найдя соответствующую ему четверть на тригонометрической окружности. Используем приближенные значения констант: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
- Для $sin(4)$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $3.14 < 4 < 4.71$). В III четверти синус отрицателен, поэтому $sin(4) < 0$.
- Для $cos(5)$: угол 5 радиан находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (что соответствует $4.71 < 5 < 6.28$). В IV четверти косинус положителен, поэтому $cos(5) > 0$.
- Для $tg(1)$: угол 1 радиан находится в I четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $0 < 1 < 1.57$). В I четверти тангенс положителен, поэтому $tg(1) > 0$.
Знак всего произведения равен произведению знаков множителей:
$(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, выражение меньше нуля.
Ответ: < 0