Номер 1019, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1019. Упростить выражение:

1) $\frac{\sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha)}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$

2) $\frac{(\sin(-\alpha) + \cos(-\alpha))^2 - 1}{-\sin(-\alpha)}$

1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами сокращенного умножения.

Исходное выражение: $$ \frac{\sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha)}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)} $$

Вспомним, что синус - нечетная функция, а косинус - четная:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $

Подставим эти соотношения в наше выражение: $$ \frac{(-\sin(\alpha))^3 + (\cos(\alpha))^3}{1 - (-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))} = \frac{-\sin^3(\alpha) + \cos^3(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos^3(\alpha) - \sin^3(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Теперь применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ к числителю, где $ a = \cos(\alpha) $ и $ b = \sin(\alpha) $: $$ \cos^3(\alpha) - \sin^3(\alpha) = (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha)) $$

Во втором множителе сгруппируем $ \sin^2(\alpha) $ и $ \cos^2(\alpha) $ и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $: $$ (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha) $$

Подставим полученное выражение обратно в дробь: $$ \frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha))}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Сократим дробь на общий множитель $ (1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)) $: $$ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) $$

Ответ: $ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) $

2)

Упростим второе выражение, используя те же свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение: $$ \frac{(\sin(-\alpha) + \cos(-\alpha))^2 - 1}{-\sin(-\alpha)} $$

Применяем свойства четности и нечетности: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ и $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.

Подставляем в выражение: $$ \frac{(-\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 - 1}{-(-\sin(\alpha))} = \frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))^2 - 1}{\sin(\alpha)} $$

Раскроем квадрат разности в числителе по формуле $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $: $$ (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) - 2\cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha) $$

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, перегруппируем слагаемые: $$ (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $$

Теперь подставим это в числитель дроби: $$ \frac{(1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) - 1}{\sin(\alpha)} = \frac{-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $$

Сокращаем дробь на $ \sin(\alpha) $ (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $): $$ -2\cos(\alpha) $$

Ответ: $ -2\cos(\alpha) $