Номер 1067, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1067. Вычислить:

1) $ \sin 15^{\circ} $;

2) $ \cos 15^{\circ} $;

3) $ \text{tg } 22^{\circ}30^{\prime} $;

4) $ \text{ctg } 22^{\circ}30^{\prime} $.

1) sin 15°

Для вычисления значения $\sin 15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов, значения синусов и косинусов которых известны, например, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим в формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

Известны значения тригонометрических функций для этих углов:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в выражение:

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2) cos 15°

Аналогично предыдущему пункту, используем представление $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ и формулу косинуса разности двух углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

Используя те же значения, что и в первом пункте, получаем:

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3) tg 22°30'

Сначала преобразуем угол: $30'$ (минут) это $0.5^\circ$ (градуса). Таким образом, $22^\circ30' = 22.5^\circ$.

Этот угол является половиной от $45^\circ$, то есть $22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$.

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения:

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: $\sqrt{2} - 1$

4) ctg 22°30'

Котангенс является обратной функцией к тангенсу: $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$.

Из предыдущего пункта известно, что $\text{tg} 22^\circ30' = \sqrt{2} - 1$.

Следовательно:

$\text{ctg} 22^\circ30' = \frac{1}{\text{tg} 22^\circ30'} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{2} + 1$:

$\text{ctg} 22^\circ30' = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

Ответ: $\sqrt{2} + 1$