Номер 1069, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1069—1070).

1069. 1) $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \sin\alpha;$

2) $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sin\alpha;$

3) $\frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha;$

4) $\frac{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha} = \text{ctg}\alpha.$

1) Для доказательства тождества $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \sin\alpha$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = 2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставим это в левую часть равенства:
$2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Получаем: $1 + \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $1 + \sin\alpha = 1 + \sin\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin\alpha$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = 2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставим это в левую часть равенства:
$2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Получаем: $1 - \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $1 - \sin\alpha = 1 - \sin\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos4\alpha = 2\cos^2(2\alpha) - 1$.
Преобразуем числитель дроби:
$3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha = 3 - 4\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2 - 4\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) = 2(1 - 2\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha)) = 2(1 - \cos2\alpha)^2$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha = 3 + 4\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2 + 4\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) = 2(1 + 2\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha)) = 2(1 + \cos2\alpha)^2$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:
$\frac{2(1 - \cos2\alpha)^2}{2(1 + \cos2\alpha)^2} = \left(\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}\right)^2$.
Воспользуемся формулами половинного угла: $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
$\left(\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}\right)^2 = \left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right)^2 = (\text{tg}^2\alpha)^2 = \text{tg}^4\alpha$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha} = \text{ctg}\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулы двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, а также формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, или более простые тождества: $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ и $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$.
Преобразуем числитель:
$1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Преобразуем знаменатель:
$1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha = (1 - \cos2\alpha) + \sin2\alpha = 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}$.
Сократим общий множитель $2(\cos\alpha + \sin\alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.