Страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1085—1086).

1085.

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 0; $

2) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0; $

3) $ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\tan\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin\alpha. $

1) Докажем тождество $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 0$.

Для доказательства преобразуем один из членов левой части равенства, используя формулы приведения. Воспользуемся формулой $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем второе слагаемое в левой части:

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{2\pi - \pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное тождество:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0$.

$0 = 0$.

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 0$.

Это тождество аналогично предыдущему. Воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем второе слагаемое в левой части:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi - \pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Подставим полученное выражение в исходное тождество:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 0$.

$0 = 0$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = -\sin\alpha$.

Преобразуем левую часть тождества, упрощая каждый тригонометрический член с помощью формул приведения.

1. $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция синус меняется на косинус.
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$.

2. $\tg(\pi + \alpha)$: Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Период тангенса равен $\pi$, поэтому функция не меняется.
$\tg(\pi + \alpha) = \tg\alpha$.

3. $\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция котангенс меняется на тангенс.
$\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tg\alpha$.

4. $\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})$: Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-x) = -\tg(x)$.
$\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.
Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен, а функция тангенс меняется на котангенс.
$\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$.
Следовательно, $\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\ctg\alpha$.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = \frac{-\cos\alpha}{\tg\alpha} \cdot \frac{-\tg\alpha}{-\ctg\alpha}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{(-\cos\alpha)(-\tg\alpha)}{\tg\alpha(-\ctg\alpha)} = \frac{\cos\alpha \cdot \tg\alpha}{-\tg\alpha \cdot \ctg\alpha}$.

Сократим на $\tg\alpha$ (при условии, что $\tg\alpha \neq 0$):

$\frac{\cos\alpha}{-\ctg\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha}$.

Используем определение котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$-\frac{\cos\alpha}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = -\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Сократим на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$-\sin\alpha$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $-\sin\alpha$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1086.

1) $\sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$

2) $\sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right)$

3) $\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$

4) $\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right)$

1) Чтобы доказать тождество $sin(\frac{7\pi}{6} + \alpha) = -sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$, преобразуем его левую часть. Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{6}$.

Тогда левая часть примет вид:

$sin(\frac{7\pi}{6} + \alpha) = sin(\pi + \frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha))$

Воспользуемся формулой приведения $sin(\pi + x) = -sin(x)$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$.

Применяя формулу, получаем:

$sin(\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) = -sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

2) Чтобы доказать тождество $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = -sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$, преобразуем его правую часть. Воспользуемся свойством нечетности функции синус, $sin(-x) = -sin(x)$, из которого следует, что $-sin(x) = sin(-x)$.

Тогда правая часть примет вид:

$-sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha) = sin(-(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$

Теперь тождество выглядит так: $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$.

Сравним аргументы синусов. Найдем их разность:

$(\frac{5\pi}{4} + \alpha) - (\alpha - \frac{3\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} + \alpha - \alpha + \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$

Поскольку период функции синус равен $2\pi$, значения синуса для углов, отличающихся на $2\pi$, равны: $sin(x) = sin(x+2\pi)$. Следовательно, $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = sin((\alpha - \frac{3\pi}{4}) + 2\pi) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$. Тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

3) Чтобы доказать тождество $cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$, преобразуем левую часть. Представим аргумент $(\alpha - \frac{2\pi}{3})$ следующим образом:

$\alpha - \frac{2\pi}{3} = \alpha + \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = (\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi$

Тогда левая часть примет вид:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos((\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi)$

Воспользуемся формулой приведения $cos(x - \pi) = -cos(x)$. В нашем случае $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$.

Применяя формулу, получаем:

$cos((\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi) = -cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

4) Чтобы доказать тождество $cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos(\alpha + \frac{4\pi}{3})$, сравним аргументы функций в левой и правой частях. Найдем их разность:

$(\alpha + \frac{4\pi}{3}) - (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \alpha + \frac{4\pi}{3} - \alpha + \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

Аргументы отличаются на $2\pi$. Период функции косинус равен $2\pi$, что означает $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$.

Если взять $x = \alpha - \frac{2\pi}{3}$ и $k=1$, то получим:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos((\alpha - \frac{2\pi}{3}) + 2\pi) = cos(\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}) = cos(\alpha + \frac{4\pi}{3})$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

1087. Вычислить $\left(\frac{\operatorname{tg}^2 590^{\circ}}{\cos^2 320^{\circ}} + \frac{\sin 111^{\circ}}{\cos 1599^{\circ}}\right)\left(\frac{\cos 279^{\circ}}{\sin 549^{\circ}} + \frac{\operatorname{ctg}^2 950^{\circ}}{\sin^2 400^{\circ}}\right)$

Для решения данной задачи необходимо поочередно упростить выражения в каждой из скобок, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\left(\frac{\text{tg}^2 590^\circ}{\cos^2 320^\circ} + \frac{\sin 111^\circ}{\cos 1599^\circ}\right)$

Сначала преобразуем каждый член выражения, используя периодичность функций (T($\text{tg}\alpha$) = $180^\circ$, T($\cos\alpha$) = $360^\circ$) и формулы приведения.

$\text{tg}^2 590^\circ = \text{tg}^2(3 \cdot 180^\circ + 50^\circ) = \text{tg}^2 50^\circ$.

$\cos^2 320^\circ = \cos^2(360^\circ - 40^\circ) = \cos^2(-40^\circ) = \cos^2 40^\circ$. Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\cos^2 40^\circ = \cos^2(90^\circ - 50^\circ) = \sin^2 50^\circ$.

Таким образом, первый член в скобке равен: $\frac{\text{tg}^2 590^\circ}{\cos^2 320^\circ} = \frac{\text{tg}^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ} = \frac{\frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ}}{\sin^2 50^\circ} = \frac{1}{\cos^2 50^\circ}$.

Теперь преобразуем второй член:

$\sin 111^\circ = \sin(90^\circ + 21^\circ) = \cos 21^\circ$.

$\cos 1599^\circ = \cos(4 \cdot 360^\circ + 159^\circ) = \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ$.

Второй член в скобке равен: $\frac{\sin 111^\circ}{\cos 1599^\circ} = \frac{\cos 21^\circ}{-\cos 21^\circ} = -1$.

Теперь сложим полученные значения, используя тождество $1+\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: $\frac{1}{\cos^2 50^\circ} - 1 = \text{tg}^2 50^\circ$.

Итак, выражение в первой скобке равно $\text{tg}^2 50^\circ$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{\cos 279^\circ}{\sin 549^\circ} + \frac{\text{ctg}^2 950^\circ}{\sin^2 400^\circ}\right)$

Сначала преобразуем каждый член выражения.

$\cos 279^\circ = \cos(270^\circ + 9^\circ) = \sin 9^\circ$.

$\sin 549^\circ = \sin(360^\circ + 189^\circ) = \sin 189^\circ = \sin(180^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$.

Таким образом, первый член в скобке равен: $\frac{\cos 279^\circ}{\sin 549^\circ} = \frac{\sin 9^\circ}{-\sin 9^\circ} = -1$.

Теперь преобразуем второй член:

$\text{ctg}^2 950^\circ = \text{ctg}^2(5 \cdot 180^\circ + 50^\circ) = \text{ctg}^2 50^\circ$.

$\sin^2 400^\circ = \sin^2(360^\circ + 40^\circ) = \sin^2 40^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin^2 40^\circ = \sin^2(90^\circ - 50^\circ) = \cos^2 50^\circ$.

Второй член в скобке равен: $\frac{\text{ctg}^2 950^\circ}{\sin^2 400^\circ} = \frac{\text{ctg}^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ} = \frac{\frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ}}{\cos^2 50^\circ} = \frac{1}{\sin^2 50^\circ}$.

Теперь сложим полученные значения, используя тождество $1+\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$: $-1 + \frac{1}{\sin^2 50^\circ} = \text{ctg}^2 50^\circ$.

Итак, выражение во второй скобке равно $\text{ctg}^2 50^\circ$.

3. Вычислим итоговое значение:

Перемножим результаты упрощения выражений в скобках: $(\text{tg}^2 50^\circ) \cdot (\text{ctg}^2 50^\circ) = (\text{tg} 50^\circ \cdot \text{ctg} 50^\circ)^2$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$, получаем: $1^2 = 1$.

Ответ: 1.

1088. Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — внутренние углы произвольного треугольника.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$. Математически это записывается так:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Нам необходимо доказать, что синус суммы двух любых внутренних углов равен синусу третьего угла. Для примера возьмем углы $\alpha$ и $\beta$. Требуется доказать, что $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$.

Из равенства для суммы углов треугольника выразим сумму двух углов $\alpha + \beta$ через третий угол $\gamma$:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$

Теперь найдем синус левой части этого равенства, который будет равен синусу правой части:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma)$

Для дальнейшего преобразования воспользуемся тригонометрической формулой приведения, которая гласит, что для любого угла $x$ выполняется равенство:

$\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$

Применив эту формулу к нашему выражению, где в качестве $x$ выступает угол $\gamma$, получим:

$\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$

Таким образом, мы установили цепочку равенств: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma)$ и $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$. Из этого следует итоговое равенство:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$

Поскольку выбор углов $\alpha$ и $\beta$ был произвольным, данное доказательство справедливо для любой пары внутренних углов треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для углов треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ выполняется равенство $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, из которого следует, что сумма двух углов $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$, что и доказывает равенство синуса суммы двух углов синусу третьего угла.

1089. Дано A, B и C — углы треугольника. Доказать, что:

1) $ \sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2} $;

2) $ \operatorname{tg} \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{C}{2} $;

3) $ \cos(A + B) = -\cos C $.

Поскольку A, B и C являются углами одного треугольника, их сумма равна 180° ($180^{\circ}$), то есть $A + B + C = 180^{\circ}$. Это основное соотношение, которое будет использовано для доказательства всех тождеств.

1) Доказать, что $\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}$

Решение:
Из основного соотношения для углов треугольника выразим сумму углов A и B:
$A + B = 180^{\circ} - C$
Разделим обе части этого равенства на 2:
$\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ} - C}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$
Теперь подставим полученное выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\sin\frac{A+B}{2} = \sin(90^{\circ} - \frac{C}{2})$
Используя формулу приведения $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos\alpha$, где в нашем случае $\alpha = \frac{C}{2}$, получаем:
$\sin(90^{\circ} - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к виду правой, что и доказывает его верность.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $\tg(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \ctg\frac{C}{2}$

Решение:
Сначала упростим аргумент тангенса в левой части:
$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{A+B}{2}$
Как и в предыдущем пункте, используем соотношение $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\tg(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tg(90^{\circ} - \frac{C}{2})$
Применим формулу приведения $\tg(90^{\circ} - \alpha) = \ctg\alpha$, где $\alpha = \frac{C}{2}$:
$\tg(90^{\circ} - \frac{C}{2}) = \ctg\frac{C}{2}$
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $\cos(A+B) = -\cos C$

Решение:
Вновь воспользуемся свойством суммы углов треугольника и выразим $A+B$:
$A + B = 180^{\circ} - C$
Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\cos(A+B) = \cos(180^{\circ} - C)$
Используем формулу приведения $\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos\alpha$, где $\alpha = C$:
$\cos(180^{\circ} - C) = -\cos C$
Таким образом, мы доказали, что $\cos(A+B) = -\cos C$.

Ответ: Доказано.

1090. Косинус одного из углов равен -0,8. Найти синус, косинус и тангенс смежного с ним угла.

Пусть данный угол равен $ \alpha $, а смежный с ним угол — $ \beta $. По условию, $ \cos(\alpha) = -0,8 $.

Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, поэтому $ \alpha + \beta = 180^\circ $, откуда $ \beta = 180^\circ - \alpha $.

Поскольку косинус угла $ \alpha $ отрицателен, а в задачах по геометрии углы обычно рассматриваются в диапазоне от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $, то угол $ \alpha $ является тупым ($ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $). Следовательно, смежный с ним угол $ \beta $ будет острым ($ 0^\circ < \beta < 90^\circ $).

Косинус

Для нахождения косинуса смежного угла воспользуемся формулой приведения: $ \cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Подставим известное значение $ \cos(\alpha) $: $ \cos(\beta) = -(-0,8) = 0,8 $.

Ответ: $ 0,8 $

Синус

Синус смежного угла можно найти с помощью основного тригонометрического тождества для угла $ \beta $: $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $.

Используя найденное значение $ \cos(\beta) = 0,8 $: $ \sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

Отсюда $ \sin(\beta) = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 $.

Так как угол $ \beta $ острый, его синус положителен. Значит, $ \sin(\beta) = 0,6 $.

Ответ: $ 0,6 $

Тангенс

Тангенс смежного угла $ \beta $ найдем по определению, как отношение синуса к косинусу: $ \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} $.

Подставим найденные значения синуса и косинуса: $ \tan(\beta) = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 $.

Ответ: $ 0,75 $

1091. Решить уравнение:

1) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1; $

2) $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 1; $

3) $ \cos(x - \pi) = 0; $

4) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1; $

5) $ \sin(2x + 3\pi)\sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right) - \sin 3x\cos 2x = -1; $

6) $ \sin\left(5x - \frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x + 4\pi) - \sin(5x + \pi)\sin 2x = 0. $

1) Решим уравнение $cos(\frac{\pi}{2} - x) = 1$.
Воспользуемся формулой приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
В нашем случае, $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$.
Уравнение принимает вид: $sin(x) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, частный случай. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) Решим уравнение $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = 1$.
Применим формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$.
Тогда $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$.
Подставим в исходное уравнение: $-cos(x) = 1$, что равносильно $cos(x) = -1$.
Это также частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

3) Решим уравнение $cos(x - \pi) = 0$.
Используем свойство четности косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(x - \pi) = cos(-( \pi - x)) = cos(\pi - x)$.
Теперь применим формулу приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
$cos(\pi - x) = -cos(x)$.
Уравнение сводится к виду $-cos(x) = 0$, или $cos(x) = 0$.
Решение этого уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

4) Решим уравнение $sin(x - \frac{\pi}{2}) = 1$.
Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(x - \frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$.
$-sin(\frac{\pi}{2} - x) = -cos(x)$.
Уравнение принимает вид: $-cos(x) = 1$, или $cos(x) = -1$.
Решение:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

5) Решим уравнение $sin(2x + 3\pi)sin(3x + \frac{3\pi}{2}) - sin(3x)cos(2x) = -1$.
Упростим выражения, используя периодичность и формулы приведения.
1. $sin(2x + 3\pi) = sin(2x + \pi + 2\pi) = sin(2x + \pi) = -sin(2x)$.
2. $sin(3x + \frac{3\pi}{2}) = -cos(3x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$(-sin(2x))(-cos(3x)) - sin(3x)cos(2x) = -1$
$sin(2x)cos(3x) - cos(2x)sin(3x) = -1$
Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Применим ее, где $\alpha = 2x$, $\beta = 3x$:
$sin(2x - 3x) = -1$
$sin(-x) = -1$
Поскольку синус — нечетная функция, $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(x) = -1$, что равносильно $sin(x) = 1$.
Решение:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

6) Решим уравнение $sin(5x - \frac{3\pi}{2})cos(2x + 4\pi) - sin(5x + \pi)sin(2x) = 0$.
Упростим выражения в уравнении.
1. $sin(5x - \frac{3\pi}{2})$. Используя периодичность, добавим $2\pi$: $sin(5x - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = sin(5x + \frac{\pi}{2})$. По формуле приведения $sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos(\alpha)$, получаем $cos(5x)$.
2. $cos(2x + 4\pi)$. Период косинуса $2\pi$, поэтому $cos(2x + 2 \cdot 2\pi) = cos(2x)$.
3. $sin(5x + \pi)$. По формуле приведения $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$, получаем $-sin(5x)$.
Подставим в уравнение:
$cos(5x) \cdot cos(2x) - (-sin(5x)) \cdot sin(2x) = 0$
$cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x) = 0$
Левая часть является формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Применим ее, где $\alpha = 5x$, $\beta = 2x$:
$cos(5x - 2x) = 0$
$cos(3x) = 0$
Решаем простейшее уравнение:
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Выразим x:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

1092. Определить cosx, если $ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin\frac{\pi}{2} = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) $.

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций.

Исходное уравнение:

$$ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin^2\frac{\pi}{2} = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) $$

Упростим каждое слагаемое в уравнении по отдельности.

1. Используем формулу приведения для синуса: $ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) $. Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем $ -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $. По формуле приведения $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x $. Таким образом, $ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x $.

2. Вычислим значение второго слагаемого: $ 2\sin^2\frac{\pi}{2} $. Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $. Следовательно, $ 2\sin^2\frac{\pi}{2} = 2 \cdot (1)^2 = 2 $.

3. Используем формулу приведения для правой части уравнения: $ \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) $. По формуле приведения $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$$ -\cos x + 2 = \cos x $$

Перенесем все слагаемые с $ \cos x $ в одну сторону уравнения:

$$ 2 = \cos x + \cos x $$

$$ 2 = 2\cos x $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ \cos x = 1 $$

Ответ: $1$

1093. Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до $\frac{\pi}{4}$.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что для любого угла $\alpha$ вычисление $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ и $\tan(\alpha)$ можно свести к вычислению значений этих функций для некоторого угла $\gamma \in [0, \frac{\pi}{4}]$. Доказательство проведем в три шага.

Шаг 1: Сведение произвольного угла к углу из промежутка $[0, 2\pi)$

Тригонометрические функции являются периодическими. Период синуса и косинуса равен $2\pi$, а период тангенса равен $\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ справедливы следующие равенства:

$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$

$\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$

$\tan(\alpha + \pi k) = \tan(\alpha)$

Благодаря этому свойству, для любого угла $\alpha$ мы можем найти такой угол $\alpha' \in [0, 2\pi)$, что значения тригонометрических функций от $\alpha$ и $\alpha'$ будут совпадать (для синуса и косинуса) или сводиться друг к другу. Для этого достаточно представить угол $\alpha$ в виде $\alpha = \alpha' + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Таким образом, задача сводится к вычислению значений для угла из промежутка $[0, 2\pi)$.

Шаг 2: Сведение угла из промежутка $[0, 2\pi)$ к углу из первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$

Любой угол $\alpha' \in [0, 2\pi)$ можно свести к углу $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ с помощью формул приведения. Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от четверти, в которой лежит угол $\alpha'$:

• Если $\alpha' \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (I четверть), то угол уже находится в нужном нам промежутке. Полагаем $\beta = \alpha'$.
• Если $\alpha' \in (\frac{\pi}{2}, \pi]$ (II четверть), то угол можно представить в виде $\alpha' = \pi - \beta$, где $\beta = \pi - \alpha' \in [0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(\pi - \beta) = -\tan(\beta)$
• Если $\alpha' \in (\pi, \frac{3\pi}{2}]$ (III четверть), то угол можно представить как $\alpha' = \pi + \beta$, где $\beta = \alpha' - \pi \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(\pi + \beta) = -\sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(\pi + \beta) = -\cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(\pi + \beta) = \tan(\beta)$
• Если $\alpha' \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (IV четверть), то угол можно представить как $\alpha' = 2\pi - \beta$, где $\beta = 2\pi - \alpha' \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(2\pi - \beta) = -\sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(2\pi - \beta) = \cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(2\pi - \beta) = -\tan(\beta)$

Таким образом, вычисление значений тригонометрических функций для любого угла из $[0, 2\pi)$ сводится к вычислению значений для угла $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, возможно, с изменением знака.

Шаг 3: Сведение угла из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$ к углу из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$

На последнем шаге рассмотрим угол $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

• Если $\beta \in [0, \frac{\pi}{4}]$, то угол уже находится в конечном целевом промежутке.
• Если $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, то мы можем ввести новый угол $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta$. Так как $\frac{\pi}{4} < \beta \leq \frac{\pi}{2}$, то для угла $\gamma$ будет выполняться неравенство $0 \leq \gamma < \frac{\pi}{4}$. Применим формулы приведения для дополнительных углов:
  • $\sin(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cos(\gamma)$
  • $\cos(\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin(\gamma)$
  • $\tan(\beta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cot(\gamma) = \frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)}$

Это показывает, что вычисление синуса и косинуса для угла $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ сводится к вычислению косинуса и синуса для угла $\gamma \in [0, \frac{\pi}{4})$. Вычисление тангенса также сводится к значениям синуса и косинуса для угла $\gamma$.

Мы последовательно показали, что вычисление тригонометрических функций для любого угла $\alpha$ можно свести к вычислению значений синуса и косинуса (а следовательно, и тангенса) для угла, лежащего в промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$. Это завершает доказательство.

Ответ: Доказательство основано на трехэтапном сведении произвольного угла к углу из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$.
1. С помощью свойства периодичности тригонометрических функций любой угол $\alpha$ приводится к углу $\alpha' \in [0, 2\pi)$.
2. С помощью формул приведения для каждой из четырех координатных четвертей угол $\alpha'$ приводится к "острому" углу $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
3. Если $\beta > \frac{\pi}{4}$, то с помощью формул для дополнительных углов ($\sin(\beta) = \cos(\frac{\pi}{2}-\beta)$ и $\cos(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2}-\beta)$) вычисление сводится к нахождению значений функций для угла $\gamma = \frac{\pi}{2}-\beta$, который гарантированно лежит в промежутке $[0, \frac{\pi}{4})$.