Номер 1089, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1089. Дано A, B и C — углы треугольника. Доказать, что:

1) $ \sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2} $;

2) $ \operatorname{tg} \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{C}{2} $;

3) $ \cos(A + B) = -\cos C $.

Поскольку A, B и C являются углами одного треугольника, их сумма равна 180° ($180^{\circ}$), то есть $A + B + C = 180^{\circ}$. Это основное соотношение, которое будет использовано для доказательства всех тождеств.

1) Доказать, что $\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}$

Решение:
Из основного соотношения для углов треугольника выразим сумму углов A и B:
$A + B = 180^{\circ} - C$
Разделим обе части этого равенства на 2:
$\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ} - C}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$
Теперь подставим полученное выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\sin\frac{A+B}{2} = \sin(90^{\circ} - \frac{C}{2})$
Используя формулу приведения $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos\alpha$, где в нашем случае $\alpha = \frac{C}{2}$, получаем:
$\sin(90^{\circ} - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к виду правой, что и доказывает его верность.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $\tg(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \ctg\frac{C}{2}$

Решение:
Сначала упростим аргумент тангенса в левой части:
$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{A+B}{2}$
Как и в предыдущем пункте, используем соотношение $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\tg(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tg(90^{\circ} - \frac{C}{2})$
Применим формулу приведения $\tg(90^{\circ} - \alpha) = \ctg\alpha$, где $\alpha = \frac{C}{2}$:
$\tg(90^{\circ} - \frac{C}{2}) = \ctg\frac{C}{2}$
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $\cos(A+B) = -\cos C$

Решение:
Вновь воспользуемся свойством суммы углов треугольника и выразим $A+B$:
$A + B = 180^{\circ} - C$
Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:
$\cos(A+B) = \cos(180^{\circ} - C)$
Используем формулу приведения $\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos\alpha$, где $\alpha = C$:
$\cos(180^{\circ} - C) = -\cos C$
Таким образом, мы доказали, что $\cos(A+B) = -\cos C$.

Ответ: Доказано.