Номер 1093, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1093. Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до $\frac{\pi}{4}$.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что для любого угла $\alpha$ вычисление $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ и $\tan(\alpha)$ можно свести к вычислению значений этих функций для некоторого угла $\gamma \in [0, \frac{\pi}{4}]$. Доказательство проведем в три шага.

Шаг 1: Сведение произвольного угла к углу из промежутка $[0, 2\pi)$

Тригонометрические функции являются периодическими. Период синуса и косинуса равен $2\pi$, а период тангенса равен $\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ справедливы следующие равенства:

$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$

$\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$

$\tan(\alpha + \pi k) = \tan(\alpha)$

Благодаря этому свойству, для любого угла $\alpha$ мы можем найти такой угол $\alpha' \in [0, 2\pi)$, что значения тригонометрических функций от $\alpha$ и $\alpha'$ будут совпадать (для синуса и косинуса) или сводиться друг к другу. Для этого достаточно представить угол $\alpha$ в виде $\alpha = \alpha' + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Таким образом, задача сводится к вычислению значений для угла из промежутка $[0, 2\pi)$.

Шаг 2: Сведение угла из промежутка $[0, 2\pi)$ к углу из первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$

Любой угол $\alpha' \in [0, 2\pi)$ можно свести к углу $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ с помощью формул приведения. Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от четверти, в которой лежит угол $\alpha'$:

• Если $\alpha' \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (I четверть), то угол уже находится в нужном нам промежутке. Полагаем $\beta = \alpha'$.
• Если $\alpha' \in (\frac{\pi}{2}, \pi]$ (II четверть), то угол можно представить в виде $\alpha' = \pi - \beta$, где $\beta = \pi - \alpha' \in [0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(\pi - \beta) = -\tan(\beta)$
• Если $\alpha' \in (\pi, \frac{3\pi}{2}]$ (III четверть), то угол можно представить как $\alpha' = \pi + \beta$, где $\beta = \alpha' - \pi \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(\pi + \beta) = -\sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(\pi + \beta) = -\cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(\pi + \beta) = \tan(\beta)$
• Если $\alpha' \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (IV четверть), то угол можно представить как $\alpha' = 2\pi - \beta$, где $\beta = 2\pi - \alpha' \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае:
  • $\sin(\alpha') = \sin(2\pi - \beta) = -\sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha') = \cos(2\pi - \beta) = \cos(\beta)$
  • $\tan(\alpha') = \tan(2\pi - \beta) = -\tan(\beta)$

Таким образом, вычисление значений тригонометрических функций для любого угла из $[0, 2\pi)$ сводится к вычислению значений для угла $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, возможно, с изменением знака.

Шаг 3: Сведение угла из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$ к углу из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$

На последнем шаге рассмотрим угол $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

• Если $\beta \in [0, \frac{\pi}{4}]$, то угол уже находится в конечном целевом промежутке.
• Если $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, то мы можем ввести новый угол $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta$. Так как $\frac{\pi}{4} < \beta \leq \frac{\pi}{2}$, то для угла $\gamma$ будет выполняться неравенство $0 \leq \gamma < \frac{\pi}{4}$. Применим формулы приведения для дополнительных углов:
  • $\sin(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cos(\gamma)$
  • $\cos(\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin(\gamma)$
  • $\tan(\beta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cot(\gamma) = \frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)}$

Это показывает, что вычисление синуса и косинуса для угла $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ сводится к вычислению косинуса и синуса для угла $\gamma \in [0, \frac{\pi}{4})$. Вычисление тангенса также сводится к значениям синуса и косинуса для угла $\gamma$.

Мы последовательно показали, что вычисление тригонометрических функций для любого угла $\alpha$ можно свести к вычислению значений синуса и косинуса (а следовательно, и тангенса) для угла, лежащего в промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$. Это завершает доказательство.

Ответ: Доказательство основано на трехэтапном сведении произвольного угла к углу из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$.
1. С помощью свойства периодичности тригонометрических функций любой угол $\alpha$ приводится к углу $\alpha' \in [0, 2\pi)$.
2. С помощью формул приведения для каждой из четырех координатных четвертей угол $\alpha'$ приводится к "острому" углу $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
3. Если $\beta > \frac{\pi}{4}$, то с помощью формул для дополнительных углов ($\sin(\beta) = \cos(\frac{\pi}{2}-\beta)$ и $\cos(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2}-\beta)$) вычисление сводится к нахождению значений функций для угла $\gamma = \frac{\pi}{2}-\beta$, который гарантированно лежит в промежутке $[0, \frac{\pi}{4})$.