Номер 1086, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1086.

1) $\sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$

2) $\sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right)$

3) $\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$

4) $\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right)$

1) Чтобы доказать тождество $sin(\frac{7\pi}{6} + \alpha) = -sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$, преобразуем его левую часть. Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы $\pi + \frac{\pi}{6}$.

Тогда левая часть примет вид:

$sin(\frac{7\pi}{6} + \alpha) = sin(\pi + \frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha))$

Воспользуемся формулой приведения $sin(\pi + x) = -sin(x)$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$.

Применяя формулу, получаем:

$sin(\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) = -sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

2) Чтобы доказать тождество $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = -sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$, преобразуем его правую часть. Воспользуемся свойством нечетности функции синус, $sin(-x) = -sin(x)$, из которого следует, что $-sin(x) = sin(-x)$.

Тогда правая часть примет вид:

$-sin(\frac{3\pi}{4} - \alpha) = sin(-(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$

Теперь тождество выглядит так: $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$.

Сравним аргументы синусов. Найдем их разность:

$(\frac{5\pi}{4} + \alpha) - (\alpha - \frac{3\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} + \alpha - \alpha + \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$

Поскольку период функции синус равен $2\pi$, значения синуса для углов, отличающихся на $2\pi$, равны: $sin(x) = sin(x+2\pi)$. Следовательно, $sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = sin((\alpha - \frac{3\pi}{4}) + 2\pi) = sin(\alpha - \frac{3\pi}{4})$. Тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

3) Чтобы доказать тождество $cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$, преобразуем левую часть. Представим аргумент $(\alpha - \frac{2\pi}{3})$ следующим образом:

$\alpha - \frac{2\pi}{3} = \alpha + \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = (\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi$

Тогда левая часть примет вид:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos((\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi)$

Воспользуемся формулой приведения $cos(x - \pi) = -cos(x)$. В нашем случае $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$.

Применяя формулу, получаем:

$cos((\alpha + \frac{\pi}{3}) - \pi) = -cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

4) Чтобы доказать тождество $cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos(\alpha + \frac{4\pi}{3})$, сравним аргументы функций в левой и правой частях. Найдем их разность:

$(\alpha + \frac{4\pi}{3}) - (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \alpha + \frac{4\pi}{3} - \alpha + \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

Аргументы отличаются на $2\pi$. Период функции косинус равен $2\pi$, что означает $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$.

Если взять $x = \alpha - \frac{2\pi}{3}$ и $k=1$, то получим:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos((\alpha - \frac{2\pi}{3}) + 2\pi) = cos(\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}) = cos(\alpha + \frac{4\pi}{3})$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.