Номер 1082, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1082. Вычислить:

1) $\sin 1140^\circ$;

2) $\cos 840^\circ$;

3) $\tan \frac{25\pi}{4}$;

4) $\cos \frac{21\pi}{4}$.

1) Для вычисления $ \sin 1140^\circ $ воспользуемся периодичностью синуса. Период функции синус равен $ 360^\circ $, поэтому значение функции не изменится, если из ее аргумента вычесть целое число полных оборотов.

Найдем остаток от деления $ 1140 $ на $ 360 $:

$ 1140^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 1080^\circ + 60^\circ $

Это означает, что угол $ 1140^\circ $ соответствует трем полным оборотам и еще $ 60^\circ $.

Следовательно, $ \sin 1140^\circ = \sin(3 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ $.

Значение синуса $ 60^\circ $ является табличным:

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) Для вычисления $ \cos 840^\circ $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период функции косинус равен $ 360^\circ $.

Найдем остаток от деления $ 840 $ на $ 360 $:

$ 840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 720^\circ + 120^\circ $

Это означает, что угол $ 840^\circ $ соответствует двум полным оборотам и еще $ 120^\circ $.

Следовательно, $ \cos 840^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ $.

Для вычисления $ \cos 120^\circ $ используем формулу приведения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha $.

$ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ $

Значение косинуса $ 60^\circ $ является табличным:

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Таким образом, $ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

3) Для вычисления $ \text{tg}\,\frac{25\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью тангенса. Период функции тангенс равен $ \pi $.

Представим дробь $ \frac{25}{4} $ в виде смешанного числа, чтобы выделить целое число периодов $ \pi $:

$ \frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4} $

Так как $ 6\pi $ является целым числом периодов ($ 6 \cdot \pi $), мы можем его отбросить:

$ \text{tg}\,\frac{25\pi}{4} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{\pi}{4} $

Значение тангенса $ \frac{\pi}{4} $ (или $ 45^\circ $) является табличным:

$ \text{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1 $

Ответ: $ 1 $

4) Для вычисления $ \cos\frac{21\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период функции косинус равен $ 2\pi $.

Представим аргумент $ \frac{21\pi}{4} $, выделив целое число периодов $ 2\pi $:

$ \frac{21\pi}{4} = \frac{16\pi + 5\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{4} $

Так как $ 4\pi $ является целым числом периодов ($ 2 \cdot 2\pi $), мы можем его отбросить:

$ \cos\frac{21\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos\frac{5\pi}{4} $

Для вычисления $ \cos\frac{5\pi}{4} $ используем формулу приведения. Представим $ \frac{5\pi}{4} $ как $ \pi + \frac{\pi}{4} $:

$ \cos\frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} $

Значение косинуса $ \frac{\pi}{4} $ является табличным:

$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Таким образом, $ \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $