Номер 1085, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1085—1086).

1085.

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 0; $

2) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0; $

3) $ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\tan\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin\alpha. $

1) Докажем тождество $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 0$.

Для доказательства преобразуем один из членов левой части равенства, используя формулы приведения. Воспользуемся формулой $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем второе слагаемое в левой части:

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{2\pi - \pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное тождество:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0$.

$0 = 0$.

Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 0$.

Это тождество аналогично предыдущему. Воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Преобразуем второе слагаемое в левой части:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{2\pi - \pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Подставим полученное выражение в исходное тождество:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 0$.

$0 = 0$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = -\sin\alpha$.

Преобразуем левую часть тождества, упрощая каждый тригонометрический член с помощью формул приведения.

1. $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция синус меняется на косинус.
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$.

2. $\tg(\pi + \alpha)$: Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Период тангенса равен $\pi$, поэтому функция не меняется.
$\tg(\pi + \alpha) = \tg\alpha$.

3. $\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция котангенс меняется на тангенс.
$\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tg\alpha$.

4. $\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})$: Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-x) = -\tg(x)$.
$\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.
Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен, а функция тангенс меняется на котангенс.
$\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$.
Следовательно, $\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\ctg\alpha$.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = \frac{-\cos\alpha}{\tg\alpha} \cdot \frac{-\tg\alpha}{-\ctg\alpha}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{(-\cos\alpha)(-\tg\alpha)}{\tg\alpha(-\ctg\alpha)} = \frac{\cos\alpha \cdot \tg\alpha}{-\tg\alpha \cdot \ctg\alpha}$.

Сократим на $\tg\alpha$ (при условии, что $\tg\alpha \neq 0$):

$\frac{\cos\alpha}{-\ctg\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha}$.

Используем определение котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$-\frac{\cos\alpha}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = -\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Сократим на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$-\sin\alpha$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $-\sin\alpha$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.