Номер 1081, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1081. 1) $\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)} \cdot \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin(\pi+\alpha)};$

2) $\frac{\sin^2(\pi+\alpha)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right).$

1)

Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(2\pi - \alpha)} \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)} $. Для этого воспользуемся формулами приведения.

Преобразуем каждую тригонометрическую функцию в выражении:
- $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию.
- $ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, так как угол находится в IV четверти, где котангенс отрицателен, и функция не меняется.
- $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, так как угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен, и функция меняется на кофункцию.
- $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $, так как угол находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция не меняется.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \frac{-\cos(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{-\sin(\alpha)} $

Упростим знаки и получим произведение двух дробей:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Сократим $ \text{ctg}(\alpha) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

По определению, данное выражение равно котангенсу $ \alpha $.

Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sin^2(\pi + \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \cdot \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.

Сначала преобразуем числитель дроби, используя формулы приведения:
- Из $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ следует, что $ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $.
- Из $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $ следует, что $ \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha) = (\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Таким образом, числитель равен $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) $. По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Теперь преобразуем остальные части выражения:
- Знаменатель дроби: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется).
- Множитель: $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положителен, функция меняется).

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \text{tg}(\alpha) $

Зная, что $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, произведем замену:

$ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократив $ \sin(\alpha) $, получим конечный результат:

$ \frac{1}{\cos(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos(\alpha)} $