Номер 1080, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (1080–1081).

1080. 1) $\frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\operatorname{tg}(\pi+\alpha)+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}{\cos (\pi+\alpha)};$

2) $\frac{\sin (\pi-\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)}{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}.$

1)

Рассмотрим выражение: $$ \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{tg}(\pi + \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} $$ Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Для числителя:
- Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс).
- Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $. Аргумент $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Функция не меняется.
- Используем формулу приведения для синуса: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Аргумент $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (косинус).

Для знаменателя:
- Используем формулу приведения для косинуса: $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $. Аргумент $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь: $$ \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) + (-\cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)} = \frac{0 - \cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \frac{-\cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = 1 $$ Данное равенство справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $ \cos(\pi + \alpha) \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos(\alpha) \neq 0 $. Также должны быть определены все функции в исходном выражении.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение: $$ \frac{\sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \text{ctg}(\pi - \alpha)}{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} $$ Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами приведения.

Для числителя:
- Используем формулу приведения для синуса: $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $. Аргумент $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен. Функция не меняется.
- Используем формулу приведения для косинуса: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (синус).
- Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $. Аргумент $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Функция не меняется.

Для знаменателя:
- Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Аргумент $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (котангенс).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\sin(\alpha) + (-\sin(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) - \sin(\alpha) - \text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = -1 $$ Данное равенство справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю и определен, то есть $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \neq 0 $, что эквивалентно $ \text{ctg}(\alpha) \neq 0 $. Также должны быть определены все функции в исходном выражении.

Ответ: -1