Номер 1083, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1083. Найти значение выражения:

1) $\cos 630^{\circ} - \sin 1470^{\circ} - \operatorname{ctg} 1125^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 1800^{\circ} - \sin 495^{\circ} + \cos 945^{\circ}$;

3) $3\cos 3660^{\circ} + \sin (-1560^{\circ}) + \cos (-450^{\circ})$;

4) $\cos 4455^{\circ} - \cos (-945^{\circ}) + \operatorname{tg} 1035^{\circ} - \operatorname{ctg} (-1500^{\circ})$.

1) Найдем значение выражения $ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ \cdot \operatorname{ctg} 1125^\circ $.

Для решения воспользуемся формулами приведения и периодичностью тригонометрических функций. Период для синуса и косинуса равен $ 360^\circ $, для котангенса — $ 180^\circ $.

Упростим каждый член выражения:

$ \cos 630^\circ = \cos(360^\circ + 270^\circ) = \cos 270^\circ = 0 $.

$ \sin 1470^\circ = \sin(4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(1440^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

$ \operatorname{ctg} 1125^\circ = \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg}(1080^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ \cdot \operatorname{ctg} 1125^\circ = 0 - \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Найдем значение выражения $ \operatorname{tg} 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ $.

Упростим каждый член выражения, используя периодичность и формулы приведения. Период для тангенса равен $ 180^\circ $.

$ \operatorname{tg} 1800^\circ = \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg} 0^\circ = 0 $.

$ \sin 495^\circ = \sin(360^\circ + 135^\circ) = \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos 945^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(720^\circ + 225^\circ) = \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \operatorname{tg} 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: $ -\sqrt{2} $.

3) Найдем значение выражения $ 3\cos 3660^\circ + \sin(-1560^\circ) + \cos(-450^\circ) $.

Упростим каждый член, учитывая, что косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), а синус — нечетная ($ \sin(-x) = -\sin(x) $).

$ 3\cos 3660^\circ = 3\cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = 3\cos(3600^\circ + 60^\circ) = 3\cos 60^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $.

$ \sin(-1560^\circ) = -\sin(1560^\circ) = -\sin(4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = -\sin(1440^\circ + 120^\circ) = -\sin 120^\circ = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(-450^\circ) = \cos(450^\circ) = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos 90^\circ = 0 $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{3}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.

4) Найдем значение выражения $ \cos 4455^\circ - \cos(-945^\circ) + \operatorname{tg} 1035^\circ - \operatorname{ctg}(-1500^\circ) $.

Упростим каждый член выражения, учитывая периодичность, четность и нечетность функций ($ \cos(-x) = \cos(x) $, $ \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x) $).

$ \cos 4455^\circ = \cos(12 \cdot 360^\circ + 135^\circ) = \cos(4320^\circ + 135^\circ) = \cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos(-945^\circ) = \cos(945^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(720^\circ + 225^\circ) = \cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \operatorname{tg} 1035^\circ = \operatorname{tg}(5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg}(900^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg} 135^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1 $.

$ \operatorname{ctg}(-1500^\circ) = -\operatorname{ctg}(1500^\circ) = -\operatorname{ctg}(8 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{ctg}(1440^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1) - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $.