Страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1077. Найти значение острого угла $\alpha$, при котором выполняется равенство:

1) $\sin 150^{\circ} = \sin(90^{\circ} + \alpha)$;

2) $\cos 310^{\circ} = \cos(270^{\circ} + \alpha)$;

3) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

4) $\operatorname{ctg}\frac{11}{6}\pi = \operatorname{ctg}(2\pi - \alpha)$.

1) Дано равенство $ \sin 150^\circ = \sin(90^\circ + \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, то есть $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.
Воспользуемся формулами приведения.
Для левой части равенства: $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ $.
Для правой части равенства: $ \sin(90^\circ + \alpha) $. Так как угол $ 90^\circ $ находится на вертикальной оси, синус меняется на косинус. Угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во второй четверти, где синус положителен. Поэтому $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $.
Получаем уравнение: $ \sin 30^\circ = \cos \alpha $.
Мы знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Значит, $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, единственное решение этого уравнения - $ \alpha = 60^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 60^\circ $.

2) Дано равенство $ \cos 310^\circ = \cos(270^\circ + \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.
Применим формулы приведения.
Для левой части: $ \cos 310^\circ = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos 50^\circ $.
Для правой части: $ \cos(270^\circ + \alpha) $. Так как угол $ 270^\circ $ находится на вертикальной оси, косинус меняется на синус. Угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Поэтому $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin \alpha $.
Получаем уравнение: $ \cos 50^\circ = \sin \alpha $.
Используя формулу приведения $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $, заменим $ \cos 50^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ $.
Тогда уравнение принимает вид: $ \sin 40^\circ = \sin \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ - острый угол, отсюда следует, что $ \alpha = 40^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 40^\circ $.

3) Дано равенство $ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, то есть $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Воспользуемся формулами приведения.
Для правой части равенства: $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Так как угол $ \frac{\pi}{2} $ находится на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти (поскольку $ \alpha $ - острый), где тангенс положителен. Поэтому $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \, \alpha $.
Получаем уравнение: $ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{ctg} \, \alpha $.
Используя формулу приведения $ \text{tg} \, x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) $, заменим $ \text{tg}\frac{\pi}{5} $:
$ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \text{ctg}(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \text{ctg}\frac{3\pi}{10} $.
Тогда уравнение принимает вид: $ \text{ctg}\frac{3\pi}{10} = \text{ctg} \, \alpha $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, и $ \frac{3\pi}{10} $ также является острым углом ($ 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2} $), то $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.

4) Дано равенство $ \text{ctg}\frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Упростим обе части равенства, используя периодичность и свойства нечетности котангенса.
Период котангенса равен $ \pi $.
Для левой части: $ \text{ctg}\frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) $. Поскольку котангенс - нечетная функция ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $), то $ \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{6} $.
Для правой части: $ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \, \alpha $.
Подставляем упрощенные выражения в исходное равенство:
$ -\text{ctg}\frac{\pi}{6} = -\text{ctg} \, \alpha $.
Умножив обе части на -1, получаем: $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \text{ctg} \, \alpha $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, и $ \frac{\pi}{6} $ также является острым углом, отсюда следует, что $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

Вычислить с помощью формул приведения (1078—1079).

1078.

1) $`\cos 150^\circ`$;

2) $`\sin 135^\circ`$;

3) $`\cot 135^\circ`$;

4) $`\cos 120^\circ`$;

5) $`\cos 225^\circ`$;

6) $`\sin 210^\circ`$;

7) $`\cot 240^\circ`$;

8) $`\sin 315^\circ`$.

1) Чтобы вычислить $\cos 150^\circ$, используем формулу приведения. Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Так как мы используем угол $180^\circ$, название функции не меняется.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Чтобы вычислить $\sin 135^\circ$, представим угол $135^\circ$ как $180^\circ - 45^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Название функции не меняется.
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Чтобы вычислить $\text{ctg } 135^\circ$, представим угол $135^\circ$ как $180^\circ - 45^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Название функции не меняется.
$\text{ctg } 135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg } 45^\circ = -1$.
Ответ: $-1$

4) Чтобы вычислить $\cos 120^\circ$, представим угол $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$. Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется.
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

5) Чтобы вычислить $\cos 225^\circ$, представим угол $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется.
$\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) Чтобы вычислить $\sin 210^\circ$, представим угол $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется.
$\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

7) Чтобы вычислить $\text{ctg } 240^\circ$, представим угол $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Название функции не меняется.
$\text{ctg } 240^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{ctg } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

8) Чтобы вычислить $\sin 315^\circ$, представим угол $315^\circ$ как $360^\circ - 45^\circ$. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется.
$\sin 315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

1079. 1) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} $;

2) $ \sin \frac{7\pi}{6} $;

3) $ \cos \frac{5\pi}{3} $;

4) $ \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3} $;

5) $ \sin \left(-\frac{13\pi}{6}\right) $;

6) $ \cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right) $;

7) $ \operatorname{tg} \left(-\frac{2\pi}{3}\right) $;

8) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{4}\right) $.

1) Для вычисления значения $\text{tg}\frac{5\pi}{4}$ используем периодичность тангенса (период $\pi$) и формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Угол $\pi + \frac{\pi}{4}$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Ответ: 1

2) Для вычисления значения $\sin\frac{7\pi}{6}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Угол $\pi + \frac{\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для вычисления значения $\cos\frac{5\pi}{3}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол $2\pi - \frac{\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{5\pi}{3}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол $2\pi - \frac{\pi}{3}$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен.
$\text{ctg}\frac{5\pi}{3} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

5) Для вычисления значения $\sin(-\frac{13\pi}{6})$ используем свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и его периодичность (период $2\pi$).
$\sin(-\frac{13\pi}{6}) = -\sin(\frac{13\pi}{6})$.
Представим угол $\frac{13\pi}{6}$ как $2\pi + \frac{\pi}{6}$.
$-\sin(\frac{13\pi}{6}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) Для вычисления значения $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и его периодичность (период $2\pi$).
$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{7\pi}{3}$ как $2\pi + \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

7) Для вычисления значения $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3})$ используем свойство нечетности тангенса ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$) и формулы приведения.
$\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{2\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$.
$-\text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\text{tg}\frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

8) Для вычисления значения $\text{ctg}(-\frac{7\pi}{4})$ используем свойство нечетности котангенса ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$) и формулы приведения.
$\text{ctg}(-\frac{7\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{7\pi}{4})$.
Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$.
$-\text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) = -\text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -(-\text{ctg}\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Ответ: 1

Упростить выражение (1080–1081).

1080. 1) $\frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\operatorname{tg}(\pi+\alpha)+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}{\cos (\pi+\alpha)};$

2) $\frac{\sin (\pi-\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)}{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}.$

1)

Рассмотрим выражение: $$ \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{tg}(\pi + \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} $$ Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Для числителя:
- Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс).
- Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $. Аргумент $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Функция не меняется.
- Используем формулу приведения для синуса: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Аргумент $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (косинус).

Для знаменателя:
- Используем формулу приведения для косинуса: $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $. Аргумент $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь: $$ \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) + (-\cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)} = \frac{0 - \cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \frac{-\cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = 1 $$ Данное равенство справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $ \cos(\pi + \alpha) \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos(\alpha) \neq 0 $. Также должны быть определены все функции в исходном выражении.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение: $$ \frac{\sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \text{ctg}(\pi - \alpha)}{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} $$ Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами приведения.

Для числителя:
- Используем формулу приведения для синуса: $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $. Аргумент $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен. Функция не меняется.
- Используем формулу приведения для косинуса: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $. Аргумент $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (синус).
- Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $. Аргумент $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Функция не меняется.

Для знаменателя:
- Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Аргумент $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (котангенс).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\sin(\alpha) + (-\sin(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) - \sin(\alpha) - \text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = -1 $$ Данное равенство справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю и определен, то есть $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \neq 0 $, что эквивалентно $ \text{ctg}(\alpha) \neq 0 $. Также должны быть определены все функции в исходном выражении.

Ответ: -1

1081. 1) $\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\operatorname{ctg}(2\pi-\alpha)} \cdot \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin(\pi+\alpha)};$

2) $\frac{\sin^2(\pi+\alpha)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right).$

1)

Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(2\pi - \alpha)} \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)} $. Для этого воспользуемся формулами приведения.

Преобразуем каждую тригонометрическую функцию в выражении:
- $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию.
- $ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, так как угол находится в IV четверти, где котангенс отрицателен, и функция не меняется.
- $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, так как угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен, и функция меняется на кофункцию.
- $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $, так как угол находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция не меняется.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \frac{-\cos(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{-\sin(\alpha)} $

Упростим знаки и получим произведение двух дробей:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Сократим $ \text{ctg}(\alpha) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

По определению, данное выражение равно котангенсу $ \alpha $.

Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sin^2(\pi + \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \cdot \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.

Сначала преобразуем числитель дроби, используя формулы приведения:
- Из $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ следует, что $ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $.
- Из $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $ следует, что $ \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha) = (\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Таким образом, числитель равен $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) $. По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Теперь преобразуем остальные части выражения:
- Знаменатель дроби: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется).
- Множитель: $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положителен, функция меняется).

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \text{tg}(\alpha) $

Зная, что $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, произведем замену:

$ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократив $ \sin(\alpha) $, получим конечный результат:

$ \frac{1}{\cos(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos(\alpha)} $

1082. Вычислить:

1) $\sin 1140^\circ$;

2) $\cos 840^\circ$;

3) $\tan \frac{25\pi}{4}$;

4) $\cos \frac{21\pi}{4}$.

1) Для вычисления $ \sin 1140^\circ $ воспользуемся периодичностью синуса. Период функции синус равен $ 360^\circ $, поэтому значение функции не изменится, если из ее аргумента вычесть целое число полных оборотов.

Найдем остаток от деления $ 1140 $ на $ 360 $:

$ 1140^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 1080^\circ + 60^\circ $

Это означает, что угол $ 1140^\circ $ соответствует трем полным оборотам и еще $ 60^\circ $.

Следовательно, $ \sin 1140^\circ = \sin(3 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ $.

Значение синуса $ 60^\circ $ является табличным:

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) Для вычисления $ \cos 840^\circ $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период функции косинус равен $ 360^\circ $.

Найдем остаток от деления $ 840 $ на $ 360 $:

$ 840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 720^\circ + 120^\circ $

Это означает, что угол $ 840^\circ $ соответствует двум полным оборотам и еще $ 120^\circ $.

Следовательно, $ \cos 840^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ $.

Для вычисления $ \cos 120^\circ $ используем формулу приведения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha $.

$ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ $

Значение косинуса $ 60^\circ $ является табличным:

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Таким образом, $ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

3) Для вычисления $ \text{tg}\,\frac{25\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью тангенса. Период функции тангенс равен $ \pi $.

Представим дробь $ \frac{25}{4} $ в виде смешанного числа, чтобы выделить целое число периодов $ \pi $:

$ \frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4} $

Так как $ 6\pi $ является целым числом периодов ($ 6 \cdot \pi $), мы можем его отбросить:

$ \text{tg}\,\frac{25\pi}{4} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{\pi}{4} $

Значение тангенса $ \frac{\pi}{4} $ (или $ 45^\circ $) является табличным:

$ \text{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1 $

Ответ: $ 1 $

4) Для вычисления $ \cos\frac{21\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период функции косинус равен $ 2\pi $.

Представим аргумент $ \frac{21\pi}{4} $, выделив целое число периодов $ 2\pi $:

$ \frac{21\pi}{4} = \frac{16\pi + 5\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{4} $

Так как $ 4\pi $ является целым числом периодов ($ 2 \cdot 2\pi $), мы можем его отбросить:

$ \cos\frac{21\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos\frac{5\pi}{4} $

Для вычисления $ \cos\frac{5\pi}{4} $ используем формулу приведения. Представим $ \frac{5\pi}{4} $ как $ \pi + \frac{\pi}{4} $:

$ \cos\frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} $

Значение косинуса $ \frac{\pi}{4} $ является табличным:

$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Таким образом, $ \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

1083. Найти значение выражения:

1) $\cos 630^{\circ} - \sin 1470^{\circ} - \operatorname{ctg} 1125^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 1800^{\circ} - \sin 495^{\circ} + \cos 945^{\circ}$;

3) $3\cos 3660^{\circ} + \sin (-1560^{\circ}) + \cos (-450^{\circ})$;

4) $\cos 4455^{\circ} - \cos (-945^{\circ}) + \operatorname{tg} 1035^{\circ} - \operatorname{ctg} (-1500^{\circ})$.

1) Найдем значение выражения $ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ \cdot \operatorname{ctg} 1125^\circ $.

Для решения воспользуемся формулами приведения и периодичностью тригонометрических функций. Период для синуса и косинуса равен $ 360^\circ $, для котангенса — $ 180^\circ $.

Упростим каждый член выражения:

$ \cos 630^\circ = \cos(360^\circ + 270^\circ) = \cos 270^\circ = 0 $.

$ \sin 1470^\circ = \sin(4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(1440^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

$ \operatorname{ctg} 1125^\circ = \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg}(1080^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ \cdot \operatorname{ctg} 1125^\circ = 0 - \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Найдем значение выражения $ \operatorname{tg} 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ $.

Упростим каждый член выражения, используя периодичность и формулы приведения. Период для тангенса равен $ 180^\circ $.

$ \operatorname{tg} 1800^\circ = \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg} 0^\circ = 0 $.

$ \sin 495^\circ = \sin(360^\circ + 135^\circ) = \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos 945^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(720^\circ + 225^\circ) = \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \operatorname{tg} 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: $ -\sqrt{2} $.

3) Найдем значение выражения $ 3\cos 3660^\circ + \sin(-1560^\circ) + \cos(-450^\circ) $.

Упростим каждый член, учитывая, что косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), а синус — нечетная ($ \sin(-x) = -\sin(x) $).

$ 3\cos 3660^\circ = 3\cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = 3\cos(3600^\circ + 60^\circ) = 3\cos 60^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $.

$ \sin(-1560^\circ) = -\sin(1560^\circ) = -\sin(4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = -\sin(1440^\circ + 120^\circ) = -\sin 120^\circ = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(-450^\circ) = \cos(450^\circ) = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos 90^\circ = 0 $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{3}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $.

4) Найдем значение выражения $ \cos 4455^\circ - \cos(-945^\circ) + \operatorname{tg} 1035^\circ - \operatorname{ctg}(-1500^\circ) $.

Упростим каждый член выражения, учитывая периодичность, четность и нечетность функций ($ \cos(-x) = \cos(x) $, $ \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x) $).

$ \cos 4455^\circ = \cos(12 \cdot 360^\circ + 135^\circ) = \cos(4320^\circ + 135^\circ) = \cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos(-945^\circ) = \cos(945^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos(720^\circ + 225^\circ) = \cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \operatorname{tg} 1035^\circ = \operatorname{tg}(5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg}(900^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg} 135^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1 $.

$ \operatorname{ctg}(-1500^\circ) = -\operatorname{ctg}(1500^\circ) = -\operatorname{ctg}(8 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{ctg}(1440^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-1) - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $.

1084. Вычислить:

1) $\cos{\frac{23\pi}{4}} - \sin{\frac{15\pi}{4}} - \operatorname{ctg}\left(-\frac{11\pi}{2}\right);$

2) $\cos{\frac{25\pi}{3}} - \cos\left(-\frac{17\pi}{2}\right) - \operatorname{tg}\frac{10\pi}{3};$

3) $\sin(-7\pi) - 2\cos{\frac{31\pi}{3}} - \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4};$

4) $\cos(-9\pi) + 2\sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right).$

1) Вычислим значение выражения $\cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4} - \text{ctg}(-\frac{11\pi}{2})$.
Для этого упростим каждый член, используя периодичность и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

• $\cos\frac{23\pi}{4} = \cos(\frac{24\pi - \pi}{4}) = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\sin\frac{15\pi}{4} = \sin(\frac{16\pi - \pi}{4}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4})$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2})$. Так как котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{11\pi}{2})$. Упростим аргумент: $\frac{11\pi}{2} = \frac{10\pi+\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2}$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2}) = 0$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

2) Вычислим значение выражения $\cos\frac{25\pi}{3} - \cos(-\frac{17\pi}{2}) - \text{tg}\frac{10\pi}{3}$.
Упростим каждый член выражения:

• $\cos\frac{25\pi}{3} = \cos(\frac{24\pi + \pi}{3}) = \cos(8\pi + \frac{\pi}{3})$. Используя периодичность косинуса ($2\pi$), получаем: $\cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
• $\cos(-\frac{17\pi}{2})$. Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\frac{17\pi}{2}) = \cos(\frac{17\pi}{2})$. Упростим аргумент: $\frac{17\pi}{2} = \frac{16\pi + \pi}{2} = 8\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда $\cos(8\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
• $\text{tg}\frac{10\pi}{3} = \text{tg}(\frac{9\pi + \pi}{3}) = \text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3})$. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{2} - 0 - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \sqrt{3}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \sqrt{3}$.

3) Вычислим значение выражения $\sin(-7\pi) - 2\cos\frac{31\pi}{3} - \text{tg}\frac{7\pi}{4}$.
Упростим каждый член выражения:

• $\sin(-7\pi)$. Синус — нечетная функция, $\sin(-7\pi) = -\sin(7\pi)$. Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$, то $\sin(7\pi) = 0$.
• $2\cos\frac{31\pi}{3}$. Вычислим $\cos\frac{31\pi}{3} = \cos(\frac{30\pi + \pi}{3}) = \cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Тогда $2\cos\frac{31\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
• $\text{tg}\frac{7\pi}{4} = \text{tg}(\frac{8\pi - \pi}{4}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4})$. Тангенс — нечетная функция, поэтому $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$0 - 1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Вычислим значение выражения $\cos(-9\pi) + 2\sin(-\frac{49\pi}{6}) - \text{ctg}(-\frac{21\pi}{4})$.
Упростим каждый член выражения:

• $\cos(-9\pi)$. Косинус — четная функция, $\cos(-9\pi) = \cos(9\pi)$. Так как $\cos(k\pi) = (-1)^k$ для любого целого $k$, то $\cos(9\pi) = -1$.
• $2\sin(-\frac{49\pi}{6})$. Синус — нечетная функция, поэтому $2\sin(-\frac{49\pi}{6}) = -2\sin(\frac{49\pi}{6})$. Упростим аргумент: $\frac{49\pi}{6} = \frac{48\pi + \pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6}$. Тогда $\sin(\frac{49\pi}{6}) = \sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Значит, $-2\sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.
• $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{4})$. Котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{21\pi}{4})$. Упростим аргумент: $\frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, $-\text{ctg}(\frac{21\pi}{4}) = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$-1 + (-1) - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1$.
Ответ: $-1$.