Страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Преобразовать в сумму произведение (1108–1109).

1108. 1) $sin10^\circ sin20^\circ$;

2) $sin\frac{\pi}{4} cos\frac{\pi}{6}$;

3) $cos35^\circ sin25^\circ$;

4) $cos15^\circ cos5^\circ$;

5) $sin(x + \alpha)cos(x - \alpha)$;

6) $cos(x + \alpha)cos(x - \alpha).$

1) Для преобразования произведения синусов $ \sin10^\circ \sin20^\circ $ в сумму воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. В нашем случае $ \alpha = 10^\circ $ и $ \beta = 20^\circ $. Подставим значения в формулу: $ \sin10^\circ \sin20^\circ = \frac{1}{2}(\cos(10^\circ-20^\circ) - \cos(10^\circ+20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-10^\circ) - \cos(30^\circ)) $. Так как функция косинуса является чётной ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(10^\circ) - \cos(30^\circ)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos10^\circ - \cos30^\circ) $.

2) Для преобразования произведения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} $ в сумму воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Найдем сумму и разность углов: $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $. $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} $. Подставляем полученные значения в формулу: $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(\sin\frac{5\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin\frac{5\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}) $.

3) Для преобразования произведения $ \cos35^\circ \sin25^\circ $ в сумму воспользуемся формулой произведения косинуса на синус: $ \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = 35^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos35^\circ \sin25^\circ = \frac{1}{2}(\sin(35^\circ + 25^\circ) - \sin(35^\circ - 25^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin60^\circ - \sin10^\circ) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin60^\circ - \sin10^\circ) $.

4) Для преобразования произведения косинусов $ \cos15^\circ \cos5^\circ $ в сумму воспользуемся формулой: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $. В данном случае $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $. Подставляем значения в формулу: $ \cos15^\circ \cos5^\circ = \frac{1}{2}(\cos(15^\circ - 5^\circ) + \cos(15^\circ + 5^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ) $.

5) Для преобразования произведения $ \sin(x + \alpha)\cos(x - \alpha) $ в сумму используем формулу $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $. Пусть $ A = x + \alpha $ и $ B = x - \alpha $. Найдем сумму и разность аргументов $ A $ и $ B $: $ A + B = (x + \alpha) + (x - \alpha) = 2x $. $ A - B = (x + \alpha) - (x - \alpha) = x + \alpha - x + \alpha = 2\alpha $. Подставляем в формулу: $ \sin(x + \alpha)\cos(x - \alpha) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(2\alpha)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(2\alpha)) $.

6) Для преобразования произведения $ \cos(x + \alpha)\cos(x - \alpha) $ в сумму используем формулу $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $. Пусть $ A = x + \alpha $ и $ B = x - \alpha $. Найдем разность и сумму аргументов $ A $ и $ B $: $ A - B = (x + \alpha) - (x - \alpha) = 2\alpha $. $ A + B = (x + \alpha) + (x - \alpha) = 2x $. Подставляем в формулу: $ \cos(x + \alpha)\cos(x - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2x)) $. Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2x)) $.

1109. 1) $2\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $4\cos x \cdot \sin^2\frac{x}{2}$;

3) $\sin^3\alpha$;

4) $4\cos^4\alpha$.

1)

Для понижения степени выражения $2\cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

В нашем случае $x = \alpha - \frac{\pi}{4}$. Применяя формулу, получаем:

$2\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \cos\left(2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Упростим аргумент косинуса:

$1 + \cos\left(2\alpha - 2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 1 + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$

Теперь используем формулу приведения $\cos(y - \frac{\pi}{2}) = \sin(y)$. Пусть $y = 2\alpha$.

$1 + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin(2\alpha)$

Ответ: $1 + \sin(2\alpha)$.

2)

Для преобразования выражения $4\cos x \cdot \sin^2\frac{x}{2}$ используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$4\cos x \cdot \left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) = 2\cos x (1 - \cos x)$

Раскроем скобки:

$2\cos x - 2\cos^2 x$

Теперь применим формулу понижения степени для косинуса $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$ ко второму слагаемому:

$2\cos x - (1 + \cos(2x)) = 2\cos x - 1 - \cos(2x)$

Ответ: $2\cos x - \cos(2x) - 1$.

3)

Для понижения степени выражения $\sin^3\alpha$ представим его в виде произведения:

$\sin^3\alpha = \sin^2\alpha \cdot \sin\alpha$

Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\left(\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}\right) \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2}(\sin\alpha - \sin\alpha\cos(2\alpha))$

Для преобразования произведения $\sin\alpha\cos(2\alpha)$ в сумму воспользуемся формулой $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$, откуда $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

В нашем случае $A=\alpha$ и $B=2\alpha$:

$\sin\alpha\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+2\alpha) + \sin(\alpha-2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) + \sin(-\alpha))$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:

$\sin\alpha\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) - \sin\alpha)$

Подставим это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{2}\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) - \sin\alpha)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin(3\alpha) + \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$

Упрощая, получаем:

$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin(3\alpha)\right) = \frac{3}{4}\sin\alpha - \frac{1}{4}\sin(3\alpha)$

Ответ: $\frac{3}{4}\sin\alpha - \frac{1}{4}\sin(3\alpha)$.

4)

Для понижения степени выражения $4\cos^4\alpha$ представим его как $4(\cos^2\alpha)^2$.

Сначала применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$4\left(\frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{(1 + \cos(2\alpha))^2}{4} = (1 + \cos(2\alpha))^2$

Раскроем квадрат суммы:

$1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cos(2\alpha) + (\cos(2\alpha))^2 = 1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)$

Теперь нужно понизить степень слагаемого $\cos^2(2\alpha)$, снова используя формулу понижения степени $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. В данном случае $x = 2\alpha$.

$\cos^2(2\alpha) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2\alpha)}{2} = \frac{1 + \cos(4\alpha)}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$1 + 2\cos(2\alpha) + \frac{1 + \cos(4\alpha)}{2}$

Разделим дробь на два слагаемых и приведем подобные члены:

$1 + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) = \frac{3}{2} + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha)$

Ответ: $\frac{3}{2} + 2\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha)$.

1110. Вычислить:

1) $\sin 82^\circ30' \cos 37^\circ30';$

2) $\sin 82^\circ30' \sin 37^\circ30'.$

1) sin 82°30' cos 37°30'

Для решения этого примера воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$sin \alpha \cdot cos \beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))$

В данном случае, пусть $\alpha = 82^{\circ

1111. Упростить:

1) $\sin\alpha(1 + 2\cos 2\alpha);$

2) $2\cos\alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha;$;

3) $\cos 2\alpha + 2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

4) $\cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2.$

1) $ \sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha) $

Сначала раскроем скобки в выражении:

$ \sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha) = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $, чтобы выразить всё через $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha(1 + 2(1 - 2\sin^2\alpha)) = \sin\alpha(1 + 2 - 4\sin^2\alpha) = \sin\alpha(3 - 4\sin^2\alpha) $

Раскроем скобки еще раз:

$ 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

Мы получили выражение, которое является формулой синуса тройного угла:

$ 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = \sin(3\alpha) $

Ответ: $ \sin(3\alpha) $

2) $ 2\cos\alpha \cos2\alpha - \cos3\alpha $

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму $ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $ для первого члена выражения. Пусть $ A=2\alpha $ и $ B=\alpha $:

$ 2\cos2\alpha \cos\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) + \cos(2\alpha - \alpha) = \cos(3\alpha) + \cos\alpha $

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ (\cos(3\alpha) + \cos\alpha) - \cos3\alpha $

Упростим, сократив $ \cos(3\alpha) $:

$ \cos3\alpha + \cos\alpha - \cos3\alpha = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

3) $ \cos2\alpha + 2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

Для второго слагаемого применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов $ 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $.

В нашем случае $ A = \alpha + \frac{\pi}{6} $ и $ B = \alpha - \frac{\pi}{6} $. Найдем $ A-B $ и $ A+B $:

$ A - B = \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ A + B = \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\alpha $

Таким образом, $ 2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2\alpha) $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \cos2\alpha + \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2\alpha)\right) $

Упрощаем, сокращая $ \cos2\alpha $ и $ -\cos2\alpha $:

$ \cos2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Мы знаем, что значение $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $ равно $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) $ \cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2 $

Для первых двух слагаемых применим формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $:

$ \cos^2 3 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3)}{2} = \frac{1 + \cos 6}{2} $

$ \cos^2 1 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1)}{2} = \frac{1 + \cos 2}{2} $

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \frac{1 + \cos 6}{2} + \frac{1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим:

$ \frac{1 + \cos 6 + 1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 = \frac{2 + \cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

$ = 1 + \frac{\cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Теперь к выражению $ \cos 6 + \cos 2 $ применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \cos 6 + \cos 2 = 2\cos\frac{6+2}{2}\cos\frac{6-2}{2} = 2\cos 4 \cos 2 $

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$ 1 + \frac{2\cos 4 \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Сократим дробь и выполним вычитание:

$ 1 + \cos 4 \cos 2 - \cos 4 \cos 2 = 1 $

Ответ: $ 1 $