Номер 1110, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1110. Вычислить:

1) $\sin 82^\circ30' \cos 37^\circ30';$

2) $\sin 82^\circ30' \sin 37^\circ30'.$

Для вычисления данных выражений воспользуемся тригонометрическими формулами преобразования произведения в сумму:

1) $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$
2) $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

1) $\sin 82^\circ30' \cos 37^\circ30'$

Применим первую формулу:

1. Найдем сумму углов: $82^\circ30' + 37^\circ30' = 119^\circ60' = 120^\circ$.
2. Найдем разность углов: $82^\circ30' - 37^\circ30' = 45^\circ$.
3. Подставим в формулу: $$\frac{1}{2}(\sin 120^\circ + \sin 45^\circ)$$
4. Значения функций: $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. Итого: $\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$

2) $\sin 82^\circ30' \sin 37^\circ30'$

Применим вторую формулу:

1. Используем те же значения суммы ($120^\circ$) и разности ($45^\circ$).
2. Подставим в формулу: $$\frac{1}{2}(\cos 45^\circ - \cos 120^\circ)$$
3. Значения функций: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.
4. Итого: $\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \right) = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$