Номер 1114, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1114. При каком значении $x$ выражение $\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)$ принимает наименьшее значение?

Чтобы найти значение $x$, при котором данное выражение принимает наименьшее значение, мы преобразуем его, используя тригонометрические формулы.

Исходное выражение: $y = \cos(\frac{\pi}{4} + 2x)\cos(\frac{\pi}{8} - 2x)$.

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{8} - 2x$.

Теперь найдем сумму и разность этих аргументов:

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{4} + 2x) + (\frac{\pi}{8} - 2x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$

$\alpha - \beta = (\frac{\pi}{4} + 2x) - (\frac{\pi}{8} - 2x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + 2x + 2x = \frac{2\pi}{8} - \frac{\pi}{8} + 4x = \frac{\pi}{8} + 4x$

Подставим результаты обратно в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{8} + 4x\right)\right)$

В полученном выражении слагаемое $\cos(\frac{3\pi}{8})$ является постоянной величиной (константой). Следовательно, значение всего выражения $y$ зависит только от слагаемого $\cos(\frac{\pi}{8} + 4x)$.

Чтобы выражение $y$ приняло наименьшее значение, необходимо, чтобы $\cos(\frac{\pi}{8} + 4x)$ принял свое наименьшее возможное значение.

Наименьшее значение для функции косинус равно $-1$. Таким образом, мы должны решить следующее уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{8} + 4x) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия значений, для которых аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

$\frac{\pi}{8} + 4x = \pi + 2\pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$4x = \pi - \frac{\pi}{8} + 2\pi k$

$4x = \frac{8\pi - \pi}{8} + 2\pi k$

$4x = \frac{7\pi}{8} + 2\pi k$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{7\pi}{32} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{7\pi}{32} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{32} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.