Номер 1120, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1120—1121).

1120. 1) $ \sin \frac{47\pi}{6} $; 2) $ \operatorname{tg} \frac{25\pi}{4} $; 3) $ \operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4} $; 4) $ \cos \frac{21\pi}{4} $.

1) Чтобы вычислить значение $ \sin\frac{47\pi}{6} $, мы используем свойство периодичности синуса, период которого составляет $ 2\pi $.

Сначала представим аргумент $ \frac{47\pi}{6} $ в виде, из которого можно выделить целое число периодов. Для этого разделим 47 на 6:

$ \frac{47\pi}{6} = \frac{48\pi - \pi}{6} = \frac{48\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 8\pi - \frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим это выражение обратно в синус:

$ \sin\frac{47\pi}{6} = \sin(8\pi - \frac{\pi}{6}) $.

Поскольку $ 8\pi $ это $ 4 \cdot 2\pi $, то есть целое число полных оборотов, мы можем его отбросить, так как $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

$ \sin(8\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $.

Синус — нечетная функция, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Следовательно:

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $.

Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) $ равно $ \frac{1}{2} $.

Таким образом, $ \sin\frac{47\pi}{6} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

2) Для вычисления $ \text{tg}\frac{25\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью тангенса. Период тангенса равен $ \pi $.

Представим угол $ \frac{25\pi}{4} $, выделив целое число периодов:

$ \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} $.

Подставим это в тангенс:

$ \text{tg}\frac{25\pi}{4} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) $.

Так как $ \text{tg}(x + \pi k) = \text{tg}(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 6\pi $:

$ \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) $ равно 1.

Ответ: $ 1 $

3) Для вычисления $ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью котангенса. Период котангенса равен $ \pi $.

Представим угол $ \frac{27\pi}{4} $, выделив целое число периодов:

$ \frac{27\pi}{4} = \frac{24\pi + 3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4} $.

Подставим это в котангенс:

$ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} = \text{ctg}(6\pi + \frac{3\pi}{4}) $.

Так как $ \text{ctg}(x + \pi k) = \text{ctg}(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 6\pi $:

$ \text{ctg}(6\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) $.

Для вычисления $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) $ используем формулу приведения $ \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) $:

$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) $ равно 1.

Следовательно, $ \text{ctg}\frac{27\pi}{4} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

4) Для вычисления $ \cos\frac{21\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью косинуса. Период косинуса равен $ 2\pi $.

Представим угол $ \frac{21\pi}{4} $, выделив целое число полных оборотов ($ 2\pi $):

$ \frac{21\pi}{4} = \frac{16\pi + 5\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} $.

Подставим это в косинус:

$ \cos\frac{21\pi}{4} = \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) $.

Так как $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для любого целого $ k $, мы можем отбросить $ 4\pi $:

$ \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) $.

Для вычисления $ \cos(\frac{5\pi}{4}) $ используем формулу приведения $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $:

$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) $.

Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{4}) $ равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, $ \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $