Номер 1125, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1125–1126).

1125. 1) $2\sin 6\alpha \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - \sin 6\alpha$ при $\alpha=\frac{5\pi}{24}$;

2) $\cos 3\alpha + 2\cos(\pi - 3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1,5\alpha\right)$ при $\alpha=\frac{5\pi}{36}$.

1) Сначала упростим данное выражение $2\sin(6\alpha)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - \sin(6\alpha)$.

Вынесем общий множитель $\sin(6\alpha)$ за скобки:

$\sin(6\alpha) \left( 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - 1 \right)$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$. Тогда выражение в скобках равно:

$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - 1 = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} + 6\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right)$

Теперь применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -\sin(y)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right) = -\sin(6\alpha)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin(6\alpha) \cdot (-\sin(6\alpha)) = -\sin^2(6\alpha)$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

Найдем значение $6\alpha$:

$6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{30\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$

Вычислим значение выражения:

$-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right)$

Так как $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = -\left(\frac{2}{4}\right) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Рассмотрим выражение $\cos(3\alpha) + 2\cos(\pi - 3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)$ и упростим его.

Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$:

$\cos(\pi - 3\alpha) = -\cos(3\alpha)$

Подставим это в выражение:

$\cos(3\alpha) + 2(-\cos(3\alpha))\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) = \cos(3\alpha) - 2\cos(3\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)$

Вынесем общий множитель $\cos(3\alpha)$ за скобки:

$\cos(3\alpha) \left( 1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) \right)$

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - 1.5\alpha$. Тогда:

$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right) = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{4} - 3\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right)$

Теперь применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \sin(y)$:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) = \sin(3\alpha)$

Подставим это обратно в упрощенное выражение:

$\cos(3\alpha) \cdot \sin(3\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2y) = 2\sin(y)\cos(y)$, откуда $\sin(y)\cos(y) = \frac{1}{2}\sin(2y)$.

$\cos(3\alpha)\sin(3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha)$

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{5\pi}{36}$.

Найдем значение $6\alpha$:

$6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{36} = \frac{30\pi}{36} = \frac{5\pi}{6}$

Вычислим значение выражения:

$\frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Так как $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$