Номер 1130, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1130-1131).

1130. 1) $ \frac{\sin(2\alpha - 3\pi) + 2\cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) + \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi)} = -\sqrt{3} \text{ctg}2\alpha $

2) $ \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) - \sqrt{3}\sin(2,5\pi - 2\alpha)}{\cos(4,5\pi - 2\alpha) + 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)} = \frac{\text{tg}2\alpha}{\sqrt{3}} $

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{\sin(2\alpha - 3\pi) + 2\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha)}{2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi)} $. Мы будем использовать формулы приведения и тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем числитель дроби.

Первое слагаемое числителя: $ \sin(2\alpha - 3\pi) $. Используя периодичность синуса ($ T=2\pi $) и его нечетность, получаем: $ \sin(2\alpha - 3\pi) = \sin(2\alpha - \pi - 2\pi) = \sin(2\alpha - \pi) = -\sin(\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.

Второе слагаемое числителя: $ 2\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) $. Применяем формулу приведения: $ \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6} + 2\alpha) = -\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) $. Раскроем косинус суммы: $ -2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) = -2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = -2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Таким образом, весь числитель равен: $ -\sin(2\alpha) + (-\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби.

Первое слагаемое знаменателя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) $. Раскроем косинус разности: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое знаменателя: $ \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi) $. Используя четность косинуса и его периодичность, получаем: $ \cos(2\alpha - 3\pi) = \cos(3\pi - 2\alpha) = \cos(\pi - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $. Следовательно, $ \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi) = -\sqrt{3}\cos(2\alpha) $.

Таким образом, весь знаменатель равен: $ (\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) - \sqrt{3}\cos 2\alpha = \sin 2\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{-\sqrt{3}\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = -\sqrt{3}\operatorname{ctg} 2\alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства второго тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) - \sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha)}{\cos(4.5\pi - 2\alpha) + 2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha)} $.

Сначала преобразуем числитель дроби.

Первое слагаемое числителя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) $. Раскроем косинус разности: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое числителя: $ -\sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha) $. Применяем формулу приведения ($ 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $): $ \sin(2.5\pi - 2\alpha) = \sin(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos 2\alpha $. Следовательно, $ -\sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Таким образом, весь числитель равен: $ (\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) - \sqrt{3}\cos 2\alpha = \sin 2\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби.

Первое слагаемое знаменателя: $ \cos(4.5\pi - 2\alpha) $. Применяем формулу приведения ($ 4.5\pi = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} $): $ \cos(4.5\pi - 2\alpha) = \cos(\frac{9\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое знаменателя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) $. Раскроем косинус суммы: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha - \sin 2\alpha $.

Таким образом, весь знаменатель равен: $ \sin 2\alpha + (\sqrt{3}\cos 2\alpha - \sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{\sin 2\alpha}{\sqrt{3}\cos 2\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\sqrt{3}} $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.