Номер 1131, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1131. $ \frac{1 - \cos\alpha + \cos2\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha; $

2) $ \frac{\sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2}}{1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}. $

1) Докажем тождество: $ \frac{1 - \cos\alpha + \cos2\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулы двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $ и $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем числитель:

$ 1 - \cos\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) - \cos\alpha = (1 + 2\cos^2\alpha - 1) - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha = \sin\alpha(2\cos\alpha - 1) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)} $.

Сократим общий множитель $ (2\cos\alpha - 1) $, при условии, что он не равен нулю (т.е. $ \cos\alpha \ne \frac{1}{2} $) и знаменатель не равен нулю (т.е. $ \sin\alpha \ne 0 $). Получаем:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2}}{1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, представив $ \alpha $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

$ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби:

$ 1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2} = 1 + (2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1) + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $.

Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)}{\cos\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)} $.

Сократим общий множитель $ (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $, при условии, что он не равен нулю (т.е. $ \cos\frac{\alpha}{2} \ne -\frac{1}{2} $) и знаменатель не равен нулю (т.е. $ \cos\frac{\alpha}{2} \ne 0 $). Получаем:

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.