gdz.top
Номер 1137, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава VIII. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе VIII - номер 1137, страница 319.
№1136
№1137 (с. 319)
Условие. №1137 (с. 319)
1137. Найти значение выражения $\frac{\sin \alpha}{\sin^3 \alpha + 3\cos^3 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = 2.$
Решение 1. №1137 (с. 319)
Решение 2. №1137 (с. 319)
Решение 3. №1137 (с. 319)
Решение 4. №1137 (с. 319)
Дано выражение $\frac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}$ и известно, что $\tan\alpha = 2$.
Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Поскольку нам дано значение тангенса, мы можем преобразовать исходное выражение так, чтобы оно зависело только от $\tan\alpha$.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^3\alpha$. Это преобразование является корректным, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то $\tan\alpha$ был бы не определен, что противоречит условию $\tan\alpha = 2$.
$\frac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}$
Преобразуем числитель полученной дроби:
$\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \tan\alpha \cdot \sec^2\alpha$
Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и секанс: $\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha$. Тогда числитель примет вид:
$\tan\alpha \cdot (1 + \tan^2\alpha)$
Теперь преобразуем знаменатель:
$\frac{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} = (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^3 + 3 = \tan^3\alpha + 3$
Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде, зависящем только от $\tan\alpha$:
$\frac{\tan\alpha(1 + \tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha + 3}$
Подставим в это выражение известное значение $\tan\alpha = 2$ и вычислим результат:
$\frac{2 \cdot (1 + 2^2)}{2^3 + 3} = \frac{2 \cdot (1 + 4)}{8 + 3} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$
Ответ: $\frac{10}{11}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1137 расположенного на странице 319 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1137 (с. 319), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.