Страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1130-1131).

1130. 1) $ \frac{\sin(2\alpha - 3\pi) + 2\cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) + \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi)} = -\sqrt{3} \text{ctg}2\alpha $

2) $ \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right) - \sqrt{3}\sin(2,5\pi - 2\alpha)}{\cos(4,5\pi - 2\alpha) + 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)} = \frac{\text{tg}2\alpha}{\sqrt{3}} $

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{\sin(2\alpha - 3\pi) + 2\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha)}{2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) + \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi)} $. Мы будем использовать формулы приведения и тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем числитель дроби.

Первое слагаемое числителя: $ \sin(2\alpha - 3\pi) $. Используя периодичность синуса ($ T=2\pi $) и его нечетность, получаем: $ \sin(2\alpha - 3\pi) = \sin(2\alpha - \pi - 2\pi) = \sin(2\alpha - \pi) = -\sin(\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.

Второе слагаемое числителя: $ 2\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) $. Применяем формулу приведения: $ \cos(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6} + 2\alpha) = -\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) $. Раскроем косинус суммы: $ -2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) = -2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = -2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Таким образом, весь числитель равен: $ -\sin(2\alpha) + (-\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби.

Первое слагаемое знаменателя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) $. Раскроем косинус разности: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое знаменателя: $ \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi) $. Используя четность косинуса и его периодичность, получаем: $ \cos(2\alpha - 3\pi) = \cos(3\pi - 2\alpha) = \cos(\pi - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $. Следовательно, $ \sqrt{3}\cos(2\alpha - 3\pi) = -\sqrt{3}\cos(2\alpha) $.

Таким образом, весь знаменатель равен: $ (\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) - \sqrt{3}\cos 2\alpha = \sin 2\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{-\sqrt{3}\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = -\sqrt{3}\operatorname{ctg} 2\alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства второго тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) - \sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha)}{\cos(4.5\pi - 2\alpha) + 2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha)} $.

Сначала преобразуем числитель дроби.

Первое слагаемое числителя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2\alpha) $. Раскроем косинус разности: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое числителя: $ -\sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha) $. Применяем формулу приведения ($ 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $): $ \sin(2.5\pi - 2\alpha) = \sin(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos 2\alpha $. Следовательно, $ -\sqrt{3}\sin(2.5\pi - 2\alpha) = -\sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Таким образом, весь числитель равен: $ (\sqrt{3}\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) - \sqrt{3}\cos 2\alpha = \sin 2\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби.

Первое слагаемое знаменателя: $ \cos(4.5\pi - 2\alpha) $. Применяем формулу приведения ($ 4.5\pi = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} $): $ \cos(4.5\pi - 2\alpha) = \cos(\frac{9\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin 2\alpha $.

Второе слагаемое знаменателя: $ 2\cos(\frac{\pi}{6} + 2\alpha) $. Раскроем косинус суммы: $ 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin 2\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha - \sin 2\alpha $.

Таким образом, весь знаменатель равен: $ \sin 2\alpha + (\sqrt{3}\cos 2\alpha - \sin 2\alpha) = \sqrt{3}\cos 2\alpha $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{\sin 2\alpha}{\sqrt{3}\cos 2\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\operatorname{tg} 2\alpha}{\sqrt{3}} $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

1131. $ \frac{1 - \cos\alpha + \cos2\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha; $

2) $ \frac{\sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2}}{1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}. $

1) Докажем тождество: $ \frac{1 - \cos\alpha + \cos2\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулы двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $ и $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем числитель:

$ 1 - \cos\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) - \cos\alpha = (1 + 2\cos^2\alpha - 1) - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha = \sin\alpha(2\cos\alpha - 1) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)} $.

Сократим общий множитель $ (2\cos\alpha - 1) $, при условии, что он не равен нулю (т.е. $ \cos\alpha \ne \frac{1}{2} $) и знаменатель не равен нулю (т.е. $ \sin\alpha \ne 0 $). Получаем:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2}}{1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, представив $ \alpha $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

$ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin\alpha + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $.

Преобразуем знаменатель дроби:

$ 1 + \cos\alpha + \cos\frac{\alpha}{2} = 1 + (2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1) + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $.

Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)}{\cos\frac{\alpha}{2}(2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)} $.

Сократим общий множитель $ (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $, при условии, что он не равен нулю (т.е. $ \cos\frac{\alpha}{2} \ne -\frac{1}{2} $) и знаменатель не равен нулю (т.е. $ \cos\frac{\alpha}{2} \ne 0 $). Получаем:

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1132. Вычислить $tg\frac{\alpha}{2}$, если $cos\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Для вычисления значения $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла, которая выражает его через косинус полного угла:

$\text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$

По условию задачи дано, что $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$. Подставим это значение в формулу:

$\text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Выполним арифметические действия в числителе и знаменателе дроби:

$1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение для квадрата тангенса:

$\text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Из уравнения $\text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = 4$ следует, что $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{4}$, то есть $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 2$ или $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = -2$.

Чтобы выбрать правильный знак, необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. По условию задачи угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Разделим все части этого двойного неравенства на 2, чтобы найти промежуток для угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$

Этот промежуток соответствует первой координатной четверти, где значения тангенса положительны. Следовательно, $\text{tg}\frac{\alpha}{2} > 0$.

Таким образом, из двух возможных значений ($2$ и $-2$) мы выбираем положительное.

Ответ: $2$

1133. Вычислить значение выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$, если $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя:

$ \sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда выражение для числителя примет вид:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha) $

Таким образом, исходное выражение можно переписать как:

$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Теперь нам нужно найти значение произведения $\sin \alpha \cos \alpha$, используя данное в условии равенство $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} $

Сгруппируем слагаемые и снова используем основное тригонометрическое тождество:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

$ 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

Отсюда выразим $2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

И найдем искомое произведение:

$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8} $

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в упрощенное выражение: $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$ (из условия) и $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8}$ (найденное значение).

Подставляем значения и вычисляем:

$ \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{3}{8}\right)}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}\right)}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{11}{16}}{\frac{3}{8}} = \frac{11}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{11 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{11}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6} $

Ответ: $ \frac{11}{6} $

1134. Вычислить значение выражения $\frac{4\sin2\alpha + 5\cos2\alpha}{2\sin2\alpha - 3\cos2\alpha}$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Для вычисления значения данного выражения можно использовать несколько способов. Один из самых рациональных — преобразовать выражение так, чтобы оно зависело от $\cot(2\alpha)$, значение которого, в свою очередь, можно найти, зная $\cot(\alpha)$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin(2\alpha)$. Это действие корректно, поскольку если бы $\sin(2\alpha) = 0$, то $2\alpha = \pi k$ для любого целого $k$. Тогда $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. При таких значениях $\alpha$ котангенс либо не определен (при четных $k$), либо равен нулю (при нечетных $k$), что противоречит условию $\cot(\alpha) = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\sin(2\alpha) \neq 0$.

Выполним преобразование:

$$ \frac{4\sin(2\alpha) + 5\cos(2\alpha)}{2\sin(2\alpha) - 3\cos(2\alpha)} = \frac{\frac{4\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{5\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}}{\frac{2\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} - \frac{3\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{4 + 5\cot(2\alpha)}{2 - 3\cot(2\alpha)} $$

Теперь необходимо найти значение $\cot(2\alpha)$. Воспользуемся формулой котангенса двойного угла:

$$ \cot(2\alpha) = \frac{\cot^2\alpha - 1}{2\cot\alpha} $$

Подставим в эту формулу заданное значение $\cot\alpha = \frac{1}{3}$:

$$ \cot(2\alpha) = \frac{(\frac{1}{3})^2 - 1}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} - 1}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1 - 9}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}} $$

Упростим полученную дробь:

$$ -\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 2} = -\frac{24}{18} = -\frac{4}{3} $$

Итак, мы нашли, что $\cot(2\alpha) = -\frac{4}{3}$.

Теперь подставим это значение в преобразованное выражение:

$$ \frac{4 + 5\cot(2\alpha)}{2 - 3\cot(2\alpha)} = \frac{4 + 5 \cdot (-\frac{4}{3})}{2 - 3 \cdot (-\frac{4}{3})} = \frac{4 - \frac{20}{3}}{2 + \frac{12}{3}} = \frac{\frac{12 - 20}{3}}{2 + 4} = \frac{-\frac{8}{3}}{6} $$

Завершим вычисления:

$$ \frac{-\frac{8}{3}}{6} = -\frac{8}{3 \cdot 6} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9} $$

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

Доказать тождество (1135—1136).

1135.

1) $ \sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha + \sin^2\beta + 2\sin\alpha \sin\beta \cos(\alpha + \beta); $

2) $ \sin\alpha + 2\sin3\alpha + \sin5\alpha = 4\sin3\alpha \cos^2\alpha. $

1) Докажем тождество $sin^2(\alpha + \beta) = sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha + \beta)$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства (ПЧ). Начнем с применения формулы косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

ПЧ $= sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha sin\beta (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки:

ПЧ $= sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta - 2sin^2\alpha sin^2\beta$

Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, из которого следует, что $1 - sin^2x = cos^2x$.

ПЧ $= (sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta) + (sin^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta) + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Вынесем общие множители:

ПЧ $= sin^2\alpha(1 - sin^2\beta) + sin^2\beta(1 - sin^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Применим тождество $1 - sin^2x = cos^2x$:

ПЧ $= sin^2\alpha cos^2\beta + sin^2\beta cos^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Полученное выражение является полным квадратом суммы. Его можно записать в виде:

ПЧ $= (sin\alpha cos\beta)^2 + (cos\alpha sin\beta)^2 + 2(sin\alpha cos\beta)(cos\alpha sin\beta)$

ПЧ $= (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)^2$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$.

ПЧ $= (sin(\alpha + \beta))^2 = sin^2(\alpha + \beta)$

Таким образом, правая часть тождества равна левой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin\alpha + 2sin3\alpha + sin5\alpha = 4sin3\alpha cos^2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Сгруппируем первое и третье слагаемые:

ЛЧ $= (sin5\alpha + sin\alpha) + 2sin3\alpha$

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов: $sin x + sin y = 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$.

Для $x=5\alpha$ и $y=\alpha$ получаем:

$sin5\alpha + sin\alpha = 2sin(\frac{5\alpha+\alpha}{2})cos(\frac{5\alpha-\alpha}{2}) = 2sin(3\alpha)cos(2\alpha)$

Подставим полученное выражение обратно в левую часть:

ЛЧ $= 2sin(3\alpha)cos(2\alpha) + 2sin3\alpha$

Вынесем общий множитель $2sin3\alpha$ за скобки:

ЛЧ $= 2sin3\alpha(cos(2\alpha) + 1)$

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$. Из нее следует, что $cos(2\alpha) + 1 = 2cos^2\alpha$.

Подставим это в наше выражение:

ЛЧ $= 2sin3\alpha(2cos^2\alpha)$

ЛЧ $= 4sin3\alpha cos^2\alpha$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1136. $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \operatorname{tg}3\alpha.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе для дальнейшего применения формул суммы тригонометрических функций.

Левая часть: $ \frac{(\sin\alpha + \sin5\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos\alpha + \cos5\alpha) + \cos3\alpha} $

Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение:

Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Применим эти формулы к числителю:

$ \sin\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $

Теперь выражение в числителе примет вид:

$ 2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin3\alpha $ за скобки:

$ \sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $

Аналогично преобразуем знаменатель:

$ \cos\alpha + \cos5\alpha = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $

Выражение в знаменателе примет вид:

$ 2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha $

Вынесем общий множитель $ \cos3\alpha $ за скобки:

$ \cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим общий множитель $ (2\cos2\alpha + 1) $, при условии, что он не равен нулю (то есть $ \cos2\alpha \neq -\frac{1}{2} $). Также необходимо, чтобы знаменатель $ \cos3\alpha \neq 0 $, что соответствует области определения тангенса в правой части тождества.

После сокращения получаем:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} $

По определению тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \tan3\alpha $

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

1137. Найти значение выражения $\frac{\sin \alpha}{\sin^3 \alpha + 3\cos^3 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = 2.$

Дано выражение $\frac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}$ и известно, что $\tan\alpha = 2$.

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Поскольку нам дано значение тангенса, мы можем преобразовать исходное выражение так, чтобы оно зависело только от $\tan\alpha$.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^3\alpha$. Это преобразование является корректным, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то $\tan\alpha$ был бы не определен, что противоречит условию $\tan\alpha = 2$.

$\frac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}$

Преобразуем числитель полученной дроби:
$\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \tan\alpha \cdot \sec^2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и секанс: $\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha$. Тогда числитель примет вид:
$\tan\alpha \cdot (1 + \tan^2\alpha)$

Теперь преобразуем знаменатель:
$\frac{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} = (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^3 + 3 = \tan^3\alpha + 3$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде, зависящем только от $\tan\alpha$:
$\frac{\tan\alpha(1 + \tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha + 3}$

Подставим в это выражение известное значение $\tan\alpha = 2$ и вычислим результат:
$\frac{2 \cdot (1 + 2^2)}{2^3 + 3} = \frac{2 \cdot (1 + 4)}{8 + 3} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$

Доказать тождество (1138–1140).

1138. $ \sin^2 \alpha + \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4} $

1138.

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть выражения $sin^2\alpha + cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

Рассмотрим произведение косинусов $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$. Для его упрощения можно воспользоваться одной из следующих формул:

• Формула преобразования произведения в сумму: $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
• Формулы косинуса суммы и разности: $cos(A \pm B) = cosAcosB \mp sinAsinB$.

Воспользуемся вторым подходом, раскрыв каждый косинус по формуле, а затем перемножив результаты. Это эквивалентно применению готовой формулы $cos(A - B) \cdot cos(A + B) = cos^2A - sin^2B$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$. Применим формулу:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = cos^2(\frac{\pi}{3}) - sin^2(\alpha)$

Известно, что значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$cos^2(\frac{\pi}{3}) - sin^2(\alpha) = (\frac{1}{2})^2 - sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} - sin^2(\alpha)$

Теперь подставим полученный результат обратно в левую часть исходного тождества:

$sin^2\alpha + (\frac{1}{4} - sin^2(\alpha))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sin^2\alpha + \frac{1}{4} - sin^2\alpha = (sin^2\alpha - sin^2\alpha) + \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

В результате преобразования левая часть равенства оказалась равна $\frac{1}{4}$, что соответствует правой части. Таким образом, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

1139. 1) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$;

2) $\sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha = \frac{1}{32}(\cos^2 4\alpha + 14\cos4\alpha + 17).$

1) Для доказательства тождества $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$

Так как, согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Преобразуем сумму $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, выделив полный квадрат:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Подставим это обратно в наше выражение:

$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\frac{\sin(2\alpha)}{2})^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}$.

$1 - 3 \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2\alpha)$

Далее применим формулу понижения степени для синуса $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$. Для $x = 2\alpha$ получим $\sin^2(2\alpha) = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}$:

$1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2} \right) = 1 - \frac{3(1 - \cos(4\alpha))}{8}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{8} - \frac{3 - 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{5 + 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{1}{8}(5 + 3\cos(4\alpha))$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$ доказано.

2) Для доказательства тождества $\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = \frac{1}{32}(\cos^24\alpha + 14\cos4\alpha + 17)$ преобразуем его левую часть.

Представим левую часть в виде суммы квадратов:

$\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = (\sin^4\alpha)^2 + (\cos^4\alpha)^2$

Применим формулу $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$:

$(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)^2 - 2\sin^4\alpha\cos^4\alpha$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$.

Выражение $2\sin^4\alpha\cos^4\alpha$ можно преобразовать так: $2(\sin\alpha\cos\alpha)^4 = 2\left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^4 = 2\frac{\sin^4(2\alpha)}{16} = \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$.

Подставим полученные выражения:

$\left(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)^2 - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$

Раскроем скобки и упростим:

$1 - 2\cdot\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) + \left(\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)^2 - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^4(2\alpha) - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha) + \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$

Теперь выразим все через $\cos(4\alpha)$, используя формулы понижения степени:

$\sin^2(2\alpha) = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}$

$\sin^4(2\alpha) = (\sin^2(2\alpha))^2 = \left(\frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{4}$

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$1 - \left(\frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}\right) + \frac{1}{8}\left(\frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{4}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2} + \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 32:

$\frac{32}{32} - \frac{16(1 - \cos(4\alpha))}{32} + \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{32 - 16(1 - \cos(4\alpha)) + 1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{32 - 16 + 16\cos(4\alpha) + 1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Сгруппируем подобные члены:

$\frac{(32 - 16 + 1) + (16\cos(4\alpha) - 2\cos(4\alpha)) + \cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{17 + 14\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Перепишем в виде, указанном в условии:

$\frac{1}{32}(\cos^2(4\alpha) + 14\cos(4\alpha) + 17)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = \frac{1}{32}(\cos^24\alpha + 14\cos4\alpha + 17)$ доказано.

1140. 1) $4\sin\alpha \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin3\alpha;$

2) $\frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \operatorname{tg}\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{4\sin\left(3\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin2\alpha \cdot \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}.$

1)

Необходимо доказать тождество: $4\sin\alpha \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(3\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства. Для произведения синусов $\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ воспользуемся формулой $\sin(A - B)\sin(A + B) = \sin^2A - \sin^2B$.

При $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$ получаем:

$\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2\alpha$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$4\sin\alpha \cdot (\frac{3}{4} - \sin^2\alpha) = 4\sin\alpha \cdot \frac{3}{4} - 4\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Полученное выражение является формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\sin(3\alpha)$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

2)

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Тождество в представленном виде неверно. Если предположить, что в знаменателе первого слагаемого вместо $\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$ должно быть $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$, тождество становится верным. Докажем исправленное тождество:

$\frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \tan\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{4\sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})}{\sin2\alpha \cdot \sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}$

Преобразуем левую часть (ЛЧ) по слагаемым.

Рассмотрим первое слагаемое $T_1 = \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \tan\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Преобразуем его числитель: $(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}) = (\cos\alpha + \sin\alpha)(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha}) = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$.

Знаменатель преобразуем по формуле синуса двойного угла: $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Тогда $T_1 = \frac{\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{4\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 4\cot(2\alpha)$.

Рассмотрим второе слагаемое $T_2 = \frac{4(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha \neq 0$:

$T_2 = \frac{4(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4(1 - \tan\alpha)}{1 + \tan\alpha}$.

Используя формулу тангенса разности $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ и зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$T_2 = 4 \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan\alpha}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan\alpha} = 4\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Теперь сложим преобразованные слагаемые:

ЛЧ = $T_1 + T_2 = 4\cot(2\alpha) + 4\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 4\left(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}\right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

ЛЧ = $4 \cdot \frac{\cos(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(2\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.

Числитель представляет собой формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:

$\cos(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(2\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos\left(2\alpha - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \cos\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, ЛЧ = $\frac{4\cos(3\alpha - \frac{\pi}{4})}{\sin(2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.

Используем формулы приведения для завершения преобразования: $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x)$ и $\cos(y) = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\cos(3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})$.

$\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставляя эти выражения, получаем:

ЛЧ = $\frac{4\sin(3\alpha + \frac{\pi}{4})}{\sin(2\alpha)\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью (ПЧ) тождества.

Ответ: Тождество доказано (с учетом исправления опечатки в условии).

1141. Немецкий астроном и математик Региомонтан доказал так называемую теорему тангенсов, связывающую длины двух любых сторон треугольника (например, a и b) и величины углов, лежащих против этих сторон ($\alpha$ и $\beta$ соответствен-но):

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha - \beta}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Доказать справедливость этой формулы (используя теорему синусов).

Для доказательства справедливости теоремы тангенсов воспользуемся теоремой синусов, как указано в условии задачи. Теорема синусов для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$ имеет вид:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Из этого соотношения можно выразить стороны $a$ и $b$ через синусы углов:

$a = 2R\sin\alpha$

$b = 2R\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемой формулы $\frac{a-b}{a+b}$:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2R\sin\alpha - 2R\sin\beta}{2R\sin\alpha + 2R\sin\beta}$

Сократив общий множитель $2R$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}$

Далее используем тригонометрические формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Подставим эти формулы в полученное нами выражение:

$\frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta} = \frac{2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Сокращаем на 2 и перегруппировываем множители в дроби:

$\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Используя определение тангенса ($\tg{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$) и котангенса ($\cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$), получаем:

$\tg\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot \cot\frac{\alpha+\beta}{2}$

Поскольку $\cot{x} = \frac{1}{\tg{x}}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$\frac{\tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходной формулы равна ее правой части:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tg\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tg\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Справедливость формулы доказана путем ее вывода из теоремы синусов и использования тригонометрических тождеств.