Страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить $\sin\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$, $\cos2\alpha$, если $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1.

По условию задачи дано, что $cosα = - \frac{4}{5}$ и $\frac{π}{2} < α < π$.

Неравенство $\frac{π}{2} < α < π$ означает, что угол $α$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sinα > 0$), а тангенс отрицателен ($tgα < 0$).

Сначала найдем $sinα$, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2α + cos^2α = 1$.

Выразим синус:

$sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Так как угол $α$ находится во второй четверти, $sinα$ должен быть положительным. Следовательно,

$sinα = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем $tgα$, используя определение тангенса: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.

$tgα = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Для вычисления $cos2α$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos2α = 2cos^2α - 1$.

Подставим известное значение $cosα$:

$cos2α = 2 \cdot (-\frac{4}{5})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $sinα = \frac{3}{5}$, $tgα = -\frac{3}{4}$, $cos2α = \frac{7}{25}$.

2. Найти значение выражения:

1) $\cos 135^\circ$;

2) $\sin \frac{8\pi}{3}$;

3) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{3}$;

4) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$.

1) cos 135°

Для нахождения значения косинуса 135 градусов воспользуемся формулой приведения. Угол 135° находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Представим угол 135° как разность 180° и 45°.

Формула приведения для косинуса: $cos(180° - \alpha) = -cos \alpha$.

Применяем формулу для нашего случая:

$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$

Значение $cos(45°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, получаем:

$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) sin $\frac{8\pi}{3}$

Для вычисления значения синуса воспользуемся свойством периодичности. Период функции синус равен $2\pi$. Выделим из аргумента $\frac{8\pi}{3}$ целое число периодов.

$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$

Согласно свойству периодичности $sin(x + 2\pi n) = sin x$ (где $n$ — целое число), имеем:

$sin(\frac{8\pi}{3}) = sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{2\pi}{3})$

Теперь используем формулу приведения для $sin(\frac{2\pi}{3})$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ (120°) находится во второй четверти, где синус положителен.

$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) tg $\frac{7\pi}{3}$

Для вычисления значения тангенса воспользуемся его периодичностью. Период функции тангенс равен $\pi$. Выделим из аргумента $\frac{7\pi}{3}$ целое число периодов.

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Согласно свойству периодичности $tg(x + \pi n) = tg x$ (где $n$ — целое число), имеем:

$tg(\frac{7\pi}{3}) = tg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $tg(\frac{\pi}{3})$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

4) cos² $\frac{\pi}{8}$ - sin² $\frac{\pi}{8}$

Данное выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$

В нашем выражении угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим эту формулу:

$cos^2 \frac{\pi}{8} - sin^2 \frac{\pi}{8} = cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{2\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{4})$

Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Упростить выражение:

1) $\sin(\alpha - \beta) - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \sin(-\beta);$

2) $\cos^2(\pi - \alpha) - \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

3) $2\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta).$

1) Упростим выражение $sin(\alpha - \beta) - sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot sin(-\beta)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

• Формула синуса разности углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.
• Формула приведения для синуса: $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$.
• Свойство нечетности функции синуса: $sin(-\beta) = -sin\beta$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$(sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta) - (cos\alpha) \cdot (-sin\beta)$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta + cos\alpha sin\beta$

Слагаемые $-cos\alpha sin\beta$ и $+cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются. В результате остается:

$sin\alpha cos\beta$

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.

2) Упростим выражение $cos^2(\pi - \alpha) - cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим формулы приведения:

• $cos(\pi - \alpha) = -cos\alpha$. Так как косинус возводится в квадрат, получаем: $cos^2(\pi - \alpha) = (-cos\alpha)^2 = cos^2\alpha$.
• $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin\alpha$. Соответственно, $cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin^2\alpha$.

Подставим преобразованные части обратно в выражение:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$

Ответ: $cos(2\alpha)$.

3) Упростим выражение $2sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta)$.

Используем формулу косинуса суммы углов:

• $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$2sin\alpha sin\beta + (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = (2sin\alpha sin\beta - sin\alpha sin\beta) + cos\alpha cos\beta$

$sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta$

Это выражение можно переписать как $cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$, что является формулой косинуса разности углов:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = cos(\alpha - \beta)$

Ответ: $cos(\alpha - \beta)$.

4. Доказать тождество:

1) $3\cos2\alpha + \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\cos2\alpha$;

2) $\frac{\sin5\alpha - \sin3\alpha}{2\cos4\alpha} = \sin\alpha$.

1) Для доказательства тождества $3\cos(2\alpha) + \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\cos(2\alpha)$ преобразуем его левую часть.
Сначала рассмотрим выражение $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$. Вынесем за скобки $-1$:
$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$.
Используем известную формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставив эту формулу, получим: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$.
Теперь вернемся к левой части исходного тождества и заменим в ней выражение $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$:
$3\cos(2\alpha) + (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) = 3\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha)$.
Приводя подобные слагаемые, получаем:
$3\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)$.
Левая часть тождества равна правой ($2\cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)}{2\cos(4\alpha)} = \sin(\alpha)$ преобразуем его левую часть.
Для преобразования числителя дроби воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
Применим эту формулу к выражению $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)$, где $x=5\alpha$ и $y=3\alpha$:
$\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\cos\left(\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$.
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$\frac{2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)}{2\cos(4\alpha)}$.
При условии, что $\cos(4\alpha) \neq 0$ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на общий множитель $2\cos(4\alpha)$:
$\sin(\alpha)$.
Левая часть тождества равна правой ($\sin(\alpha) = \sin(\alpha)$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

1. Вычислить значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\text{tg}\alpha = 2,4$ и $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$.

Поскольку по условию угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, он находится в третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус имеют отрицательные значения, а тангенс — положительное, что соответствует условию $tg \alpha = 2,4$.

Для нахождения значений $sin \alpha$ и $cos \alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Вычисление cos α
Используем тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $tg \alpha = 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Теперь подставим это значение в формулу:
$1 + (\frac{12}{5})^2 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$\frac{25}{25} + \frac{144}{25} = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$\frac{169}{25} = \frac{1}{cos^2\alpha}$
Отсюда находим $cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha = \frac{25}{169}$
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$
Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его косинус отрицателен. Поэтому выбираем значение со знаком минус.
Ответ: $cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

Вычисление sin α
Зная тангенс и косинус, можем найти синус из определения тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
Выразим $sin \alpha$:
$sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$
Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{12}{5}$ и $cos \alpha = -\frac{5}{13}$:
$sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$
Значение синуса отрицательно, что соответствует третьей координатной четверти.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{12}{13}$.

2. Вычислить:

1) $\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi;$

2) $\sin\frac{16}{3}\pi + \text{tg}\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{ctg}\frac{5\pi}{6}$.

1) Вычислим значение выражения $\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi$.

Для этого найдем значение каждого тригонометрического выражения по отдельности, используя их свойства и табличные значения.

• Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Для вычисления $\cos(\frac{3\pi}{4})$ используем формулу приведения. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Значение $\cos\pi$ является табличным:
$\cos\pi = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = 2$.

Ответ: 2.

2) Вычислим значение выражения $\sin\frac{16\pi}{3} + \tg\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\ctg\frac{5\pi}{6}$.

Для этого найдем значение каждого члена выражения, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения.

• Упростим аргумент синуса, выделив целое число периодов ($2\pi$).
$\frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3}$.
$\sin\frac{16\pi}{3} = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3})$.
Далее, по формуле приведения, учитывая, что угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти (где синус отрицателен):
$\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Упростим аргумент тангенса, используя его период, равный $\pi$.
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tg\frac{9\pi}{4} = \tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

• Для котангенса используем формулу приведения. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен.
$\ctg\frac{5\pi}{6} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\sin\frac{16\pi}{3} + \tg\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\ctg\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

3. Определить знак значения числового выражения $ \sin 2 \cos 3 \operatorname{tg} 4 $.

Чтобы определить знак числового выражения $ \sin 2 \cos 3 \operatorname{tg} 4 $, необходимо определить знак каждого из трех множителей. В данном выражении аргументы тригонометрических функций (2, 3 и 4) представлены в радианах. Для определения знаков функций мы будем определять, в какой координатной четверти находится каждый угол, используя приближенное значение числа $ \pi \approx 3,14 $.

Границы координатных четвертей в радианах:

• I четверть: $ 0 < \alpha < \pi/2 \approx 1,57 $
• II четверть: $ \pi/2 \approx 1,57 < \alpha < \pi \approx 3,14 $
• III четверть: $ \pi \approx 3,14 < \alpha < 3\pi/2 \approx 4,71 $
• IV четверть: $ 3\pi/2 \approx 4,71 < \alpha < 2\pi \approx 6,28 $

1. Определение знака $ \sin 2 $

Сравним значение 2 с границами четвертей. Поскольку $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $, мы имеем неравенство $ \pi/2 < 2 < \pi $. Это означает, что угол в 2 радиана лежит во второй координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны.

Следовательно, $ \sin 2 > 0 $.

2. Определение знака $ \cos 3 $

Сравним значение 3 с границами четвертей. Поскольку $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $, мы имеем неравенство $ \pi/2 < 3 < \pi $. Это означает, что угол в 3 радиана также лежит во второй координатной четверти. В этой четверти значения косинуса отрицательны.

Следовательно, $ \cos 3 < 0 $.

3. Определение знака $ \operatorname{tg} 4 $

Сравним значение 4 с границами четвертей. Поскольку $ \pi \approx 3,14 $ и $ 3\pi/2 \approx 4,71 $, мы имеем неравенство $ \pi < 4 < 3\pi/2 $. Это означает, что угол в 4 радиана лежит в третьей координатной четверти. В этой четверти значения тангенса положительны (так как и синус, и косинус отрицательны).

Следовательно, $ \operatorname{tg} 4 > 0 $.

4. Определение знака всего выражения

Теперь, зная знаки каждого множителя, мы можем определить знак всего произведения:

$ \sin 2 \cdot \cos 3 \cdot \operatorname{tg} 4 $

Произведение знаков будет: $ (+) \cdot (-) \cdot (+) = (-) $.

Таким образом, значение всего числового выражения является отрицательным.

Ответ: минус.

4. Упростить выражение $ \left(2 - \frac{2}{\sin^2(\pi + \alpha)}\right) \left(\frac{1}{\cos^2(\alpha - \pi)} - 1\right) $.

Для упрощения данного выражения последовательно выполним следующие действия: применим формулы приведения для тригонометрических функций, затем упростим каждое из выражений в скобках, используя основное тригонометрическое тождество, и в конце перемножим полученные результаты.

Исходное выражение:

1. Упрощение тригонометрических функций с помощью формул приведения.

Функция синуса: по формуле приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $. При возведении в квадрат знак минус исчезает:

Функция косинуса: косинус является четной функцией, поэтому $ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) $. Далее по формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $. При возведении в квадрат получаем:

2. Подстановка упрощенных выражений.

После подстановки исходное выражение принимает вид:

3. Упрощение каждой скобки.

Преобразуем выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю:

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) $. Тогда первая скобка упрощается до:

Теперь преобразуем вторую скобку:

Из того же тождества $ 1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) $. Вторая скобка упрощается до:

4. Вычисление итогового произведения.

Перемножим упрощенные выражения для каждой из скобок:

Сокращаем одинаковые множители $ \sin^2(\alpha) $ и $ \cos^2(\alpha) $ в числителе и знаменателе (они не могут быть равны нулю согласно области определения исходного выражения). В результате получаем:

Ответ: $-2$

5. Доказать тождество $\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1}{\operatorname{tg}\alpha - \sin\alpha \cdot \cos\alpha} = -2\operatorname{ctg}^2\alpha$.

5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, чтобы она стала равна правой части.

Сначала упростим числитель дроби: $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1$.

Раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = -2\sin\alpha\cos\alpha$.

Далее преобразуем знаменатель дроби: $\tg\alpha - \sin\alpha\cos\alpha$.

Заменим тангенс по его определению $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, приведем выражение к общему знаменателю и вновь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразовав его к виду $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\tg\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha - \sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 - \cos^2\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}$.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$-2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin^3\alpha}$.

Сократим полученную дробь на $\sin\alpha$:

$\frac{-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$. Таким образом, итоговое выражение равно:

$-2\ctg^2\alpha$.

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна $-2\ctg^2\alpha$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

6. Решить уравнение $1 + \sin(2x + 4\pi) - 2\cos^2 2x = 2\sin^2 2x.$

Дано тригонометрическое уравнение:
$1 + \sin(2x + 4\pi) - 2\cos^2(2x) = 2\sin^2(2x)$

Первым шагом упростим выражение $\sin(2x + 4\pi)$. Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, что означает $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, поэтому мы можем отбросить $4\pi$ из аргумента синуса:
$\sin(2x + 4\pi) = \sin(2x)$

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$1 + \sin(2x) - 2\cos^2(2x) = 2\sin^2(2x)$

Теперь перенесем член $-2\cos^2(2x)$ из левой части в правую, изменив его знак:
$1 + \sin(2x) = 2\sin^2(2x) + 2\cos^2(2x)$

В правой части уравнения вынесем общий множитель 2 за скобки:
$1 + \sin(2x) = 2(\sin^2(2x) + \cos^2(2x))$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Для нашего случая, где $\alpha = 2x$, тождество также справедливо: $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.
Заменим выражение в скобках на 1:
$1 + \sin(2x) = 2 \cdot 1$
$1 + \sin(2x) = 2$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы выделить $\sin(2x)$:
$\sin(2x) = 2 - 1$
$\sin(2x) = 1$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решением уравнения $\sin(y) = 1$ является серия корней $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае $y = 2x$, поэтому:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части последнего равенства на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.