Номер 5, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Доказать тождество $\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1}{\operatorname{tg}\alpha - \sin\alpha \cdot \cos\alpha} = -2\operatorname{ctg}^2\alpha$.

5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, чтобы она стала равна правой части.

Сначала упростим числитель дроби: $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1$.

Раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = -2\sin\alpha\cos\alpha$.

Далее преобразуем знаменатель дроби: $\tg\alpha - \sin\alpha\cos\alpha$.

Заменим тангенс по его определению $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, приведем выражение к общему знаменателю и вновь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразовав его к виду $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\tg\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha - \sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 - \cos^2\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}$.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$-2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^3\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin^3\alpha}$.

Сократим полученную дробь на $\sin\alpha$:

$\frac{-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$. Таким образом, итоговое выражение равно:

$-2\ctg^2\alpha$.

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна $-2\ctg^2\alpha$, что совпадает с его правой частью. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.