Номер 2, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Вычислить:

1) $\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi;$

2) $\sin\frac{16}{3}\pi + \text{tg}\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{ctg}\frac{5\pi}{6}$.

1) Вычислим значение выражения $\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi$.

Для этого найдем значение каждого тригонометрического выражения по отдельности, используя их свойства и табличные значения.

• Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Для вычисления $\cos(\frac{3\pi}{4})$ используем формулу приведения. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Значение $\cos\pi$ является табличным:
$\cos\pi = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) - 2\cos\pi = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = 2$.

Ответ: 2.

2) Вычислим значение выражения $\sin\frac{16\pi}{3} + \tg\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\ctg\frac{5\pi}{6}$.

Для этого найдем значение каждого члена выражения, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения.

• Упростим аргумент синуса, выделив целое число периодов ($2\pi$).
$\frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3}$.
$\sin\frac{16\pi}{3} = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3})$.
Далее, по формуле приведения, учитывая, что угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти (где синус отрицателен):
$\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Упростим аргумент тангенса, используя его период, равный $\pi$.
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tg\frac{9\pi}{4} = \tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

• Для котангенса используем формулу приведения. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен.
$\ctg\frac{5\pi}{6} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\sin\frac{16\pi}{3} + \tg\frac{9\pi}{4} + \frac{1}{2}\ctg\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.