Номер 1144, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1144. 1) $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1;$

2) $3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0;$

3) $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right);$

4) $4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 6 \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

1) Для вычисления значения выражения $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1$ найдем значения арккосинусов.
По определению, $\arccos x$ - это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$.
$\arccos 1 = 0$, так как $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \arccos 0 + 3 \arccos 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 3 \cdot 0 = \pi + 0 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

2) Для вычисления значения выражения $3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0$ найдем значения арккосинусов.
$\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0; \pi]$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в выражение:
$3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0 = 3 \cdot \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi - \pi = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

3) Для вычисления значения выражения $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos(-\frac{1}{2})$ найдем значения арккосинусов.
$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0; \pi]$.
Для нахождения $\arccos(-\frac{1}{2})$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим найденные значения в выражение:
$12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos(-\frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi - 2\pi = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для вычисления значения выражения $4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ найдем значения арккосинусов.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденные значения в выражение:
$4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$.
Ответ: $8\pi$.