Номер 1148, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1148. 1) $ \cos 4x = 1; $

2) $ \cos 2x = -1; $

3) $ \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1; $

4) $ 2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}; $

5) $ \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0; $

6) $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 0. $

1) Дано уравнение $cos(4x) = 1$.
Это частный случай решения тригонометрических уравнений. Равенство $cos(t) = 1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in Z$).
В нашем случае $t = 4x$.
$4x = 2\pi k$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{2\pi k}{4}$
$x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

2) Дано уравнение $cos(2x) = -1$.
Это частный случай. Равенство $cos(t) = -1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В данном уравнении $t = 2x$.
$2x = \pi + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{2}$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2} \cos\frac{x}{4} = -1$.
Сначала выразим $\cos\frac{x}{4}$:
$\cos\frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель: $\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = \frac{x}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значения:
$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Умножим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = 4 \cdot (\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$
$x = \pm 3\pi + 8\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pm 3\pi + 8\pi k, k \in Z$.

4) Дано уравнение $2 \cos\frac{x}{3} = \sqrt{3}$.
Выразим $\cos\frac{x}{3}$:
$\cos\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем:
$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Умножим обе части на 3:
$x = 3 \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$
$x = \pm \frac{3\pi}{6} + 6\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, k \in Z$.

5) Дано уравнение $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Это частный случай. Равенство $\cos(t) = 0$ выполняется, когда $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{3}$.
$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

6) Дано уравнение $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = 0$.
Это частный случай, когда $\cos(t) = 0$. Решение имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = 2x - \frac{\pi}{4}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$2x = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
$2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.