Номер 1154, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1154. Решить уравнение:

1) $\arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{3};$

2) $\arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}.$

1) Дано уравнение: $arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. При этом должно выполняться условие, что аргумент арккосинуса $a$ находится в промежутке $[-1, 1]$, а значение $b$ — в промежутке $[0, \pi]$.

В нашем случае, значение $\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, \pi]$, поэтому уравнение может иметь решение. Применим определение арккосинуса:

$2x - 3 = \cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

$2x - 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 3 + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{4}$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x$ в аргумент исходного арккосинуса, чтобы убедиться, что он находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$.

$2x - 3 = 2(\frac{7}{4}) - 3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2}$

Поскольку значение $\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, найденный корень является верным.

Ответ: $\frac{7}{4}$

2) Дано уравнение: $arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением арккосинуса. Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$, значит, решение существует.

$\frac{x+1}{3} = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значение косинуса. Используя формулу приведения, получаем:

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 3:

$x+1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x+1 = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} - 1$

$x = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Выполним проверку. Подставим найденный корень в аргумент арккосинуса:

$\frac{x+1}{3} = \frac{-\frac{5}{2}+1}{3} = \frac{-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$

Значение $-\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, следовательно, найденный корень верен.

Ответ: $-\frac{5}{2}$